Différentielle extérieure : Définition formelle

La différentielle extérieure est un opérateur fondamental en calcul sur les variétés différentiables. Elle généralise la différentielle des fonctions à des formes différentielles de tout degré. Soit $M$ une variété différentiable de classe $C^\infty$ de dimension $n$. On note $\Omega^k(M)$ le $\mathcal{C}^\infty(M)$-module des formes différentielles de degré $k$ sur $M$.

Définition locale en coordonnées

En une carte locale $(U, x^1, \dots, x^n)$, toute $k$-forme $\omega$ s’écrit de manière unique : $$\omega = \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} \omega_{i_1 \dots i_k}(x) \, \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}$$ où les $\omega_{i_1 \dots i_k}$ sont des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ sur $U$.

La différentielle extérieure $\mathrm{d}\omega$ est la $(k+1)$-forme définie par : \begin{align}\mathrm{d}\omega &= \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} \mathrm{d}\omega_{i_1 \dots i_k} \wedge \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{i_k} \\ &= \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial \omega_{i_1 \dots i_k}}{\partial x^j} \, \mathrm{d}x^j \right) \wedge \mathrm{d}x^{i_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{i_k}.\end{align} Cette définition ne dépend pas du choix des coordonnées.

Propriétés algébriques de base

L’opérateur $\mathrm{d} : \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$ est $\mathbb{R}$-linéaire et satisfait la règle de Leibniz generalisée : pour $\alpha \in \Omega^k(M)$ et $\beta \in \Omega^\ell(M)$, $$\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta) = \mathrm{d}\alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge \mathrm{d}\beta.$$ De plus, $\mathrm{d}^2 = 0$, c’est-à-dire $\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega) = 0$ pour toute forme $\omega$. C’est une conséquence directe du théorème de Schwarz sur l’égalité des dérivées secondes croisées.

Théorèmes fondamentaux et preuves

Théorème : $\mathrm{d}^2 = 0$

Pour toute forme différentielle $\omega \in \Omega^k(M)$ de classe $\mathcal{C}^\infty$, on a $\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega) = 0$.

Preuve : Il suffit de vérifier localement en coordonnées. Soit $\omega$ une $k$-forme comme ci-dessus. Calculons $\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega)$. On a : \begin{align}\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega) &= \mathrm{d}\left( \sum_{I} \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial \omega_I}{\partial x^j} \, \mathrm{d}x^j \right) \wedge \mathrm{d}x^I \right) \\ &= \sum_{I} \sum_{j=1}^n \mathrm{d}\left( \frac{\partial \omega_I}{\partial x^j} \right) \wedge \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^I \\ &= \sum_{I} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 \omega_I}{\partial x^k \partial x^j} \, \mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^I.\end{align} par application de la règle de Leibniz à chaque terme. Notons que pour chaque triplet $(I,j,k)$, le terme $\frac{\partial^2 \omega_I}{\partial x^k \partial x^j} \, \mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^I$ se combine avec le terme où $j$ et $k$ sont échangés. Or $\mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}x^j = -\mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^k$. Comme $\frac{\partial^2 \omega_I}{\partial x^k \partial x^j} = \frac{\partial^2 \omega_I}{\partial x^j \partial x^k}$ par le théorème de Schwarz, chaque paire s’annule. Plus rigoureusement, en regroupant les termes selon l’ensemble ordonné $\{j,k\} \cup I$, on obtient une somme de termes de la forme $\left( \frac{\partial^2 \omega_I}{\partial x^k \partial x^j} – \frac{\partial^2 \omega_I}{\partial x^j \partial x^k} \right) \mathrm{d}x^k \wedge \mathrm{d}x^j \wedge \mathrm{d}x^I = 0$. Ainsi $\mathrm{d}^2\omega = 0$ localement, donc globalement. $\blacksquare$

Théorème de Poincaré (lemme) pour les domaines étoiles

Soit $U \subset \mathbb{R}^n$ un domaine étoilé (il existe $x_0 \in U$ tel que pour tout $x \in U$, le segment $[x_0, x]$ soit inclus dans $U$). Alors toute $k$-forme fermée ($\mathrm{d}\omega = 0$) sur $U$ est exacte, c’est-à-dire qu’il existe une $(k-1)$-forme $\eta$ telle que $\omega = \mathrm{d}\eta$, pour tout $k \geq 1$.

Preuve : On construit l’opérateur d’homotopie. Soit $x_0$ le centre de l’étoile. Pour $x \in U$, définissons le rayon $t \mapsto (1-t)x_0 + tx$ pour $t \in [0,1]$. Si $\omega$ est une $k$-forme close, on pose : $$\eta = \int_0^1 t^{k-1} \iota_{\dot{\gamma}_t} \omega((1-t)x_0 + tx) \, \mathrm{d}t$$ où $\iota_{\dot{\gamma}}$ désigne l’intérieur contraction par le champ de vecteurs $\dot{\gamma}_t = x – x_0$. Un calcul direct en coordonnées, en utilisant la formule de changement de variable et le fait que $\mathrm{d}\omega = 0$, montre que $\mathrm{d}\eta = \omega$. Le calcul est technique mais standard ; il repose sur l’identité $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \big( t^{k} \iota_{\dot{\gamma}_t} \omega(\gamma_t) \big) = \dots$ et l’intégration. $\blacksquare$

Exemples et contre-exemples

Exemple 1 : Différentielle de fonctions (0-formes)

Une fonction $f \in \mathcal{C}^\infty(M)$ est une $0$-forme. Sa différentielle extérieure est la $1$-forme habituelle : $$\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i} \, \mathrm{d}x^i.$$ Par exemple, sur $\mathbb{R}^2$, si $f(x,y)=x^2y$, alors $\mathrm{d}f = 2xy \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}y$.

Exemple 2 : Différentielle de la forme $\mathrm{d}x$

La $1$-forme $\mathrm{d}x$ sur $\mathbb{R}^n$ a pour différentielle : $$\mathrm{d}(\mathrm{d}x) = \mathrm{d}^2 x = 0.$$ Plus généralement, pour toute $1$-forme $\alpha = \sum a_i \, \mathrm{d}x^i$, on a $\mathrm{d}\alpha = \sum_{i<j} \left( \frac{\partial a_j}{\partial x^i} – \frac{\partial a_i}{\partial x^j} \right) \mathrm{d}x^i \wedge \mathrm{d}x^j$. C’est l’analogue du rotationnel (curl) en dimension 3.

Exemple 3 : Forme de Liouville sur $\mathbb{R}^{2n}$

Soit $\lambda = \sum_{i=1}^n p_i \, \mathrm{d}q^i$ la $1$-forme de Liouville sur l’espace des phases ($q^i$ positions, $p_i$ quantités de mouvement). Alors $\mathrm{d}\lambda = \sum_{i=1}^n \mathrm{d}p_i \wedge \mathrm{d}q^i$, qui est la forme symplectique canonique $\omega$. On a $\mathrm{d}\omega = \mathrm{d}^2\lambda = 0$.

Contre-exemple : Tore $\mathbb{T}^2$

Considérons le tore $\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$. La $1$-forme $\alpha = \mathrm{d}\theta$ (où $\theta$ est l’angle sur le cercle) n’est pas bien définie globalement car $\theta$ n’est pas une fonction globale sur $\mathbb{T}^2$. Cependant, sa classe de cohomologie est non triviale. En effet, $\alpha$ est fermée ($\mathrm{d}\alpha = 0$) localement, mais n’est pas exacte globalement : il n’existe pas de fonction $f$ sur $\mathbb{T}^2$ telle que $\mathrm{d}f = \alpha$. Ceci montre que le théorème de Poincaré échoue sur le tore car $\mathbb{T}^2$ n’est pas étoilé.

Cohomologie de de Rham et lien avec la topologie

La différentielle extérieure $\mathrm{d}$ induit une complexe de cochaînes : $$0 \to \Omega^0(M) \xrightarrow{\mathrm{d}} \Omega^1(M) \xrightarrow{\mathrm{d}} \Omega^2(M) \xrightarrow{\mathrm{d}} \dots$$ Le $k$-ième groupe de cohomologie de de Rham est défini par : $$H^k_{\mathrm{dR}}(M) = \frac{\ker(\mathrm{d} : \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M))}{\operatorname{im}(\mathrm{d} : \Omega^{k-1}(M) \to \Omega^k(M))}.$$ Ses éléments sont les classes de cohomologie. Une forme est fermée si $\mathrm{d}\omega = 0$, exacte si $\omega = \mathrm{d}\eta$ pour une certaine $\eta$. Les fermées modulo les exactes forment $H^k_{\mathrm{dR}}(M)$. Le lemme de Poincaré implique que $H^k_{\mathrm{dR}}(U) = 0$ pour $k \geq 1$ si $U$ est étoilé, ce qui reflète la simple connexité topologique.

Synthèse et perspectives

La différentielle extérieure est l’outil central de l’algèbre différentielle. Sa propriété $\mathrm{d}^2=0$ fonde toute la théorie de la cohomologie. Elle permet de généraliser les théorèmes classiques du calcul (comme le théorème de Stokes : $\int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega$) aux variétés. Pour des exercices corrigés et des approfondissements, consultez les cours et exercices de mathématiques supérieur, licence et prépa sur KeepMath. Une perspective historique sur le développement des formes différentielles est disponible sur le site de CultureMath.