Soit $K$ un corps commutatif, $n \ge 2$ un entier, et $a_1, a_2, \dots, a_n$ des éléments de $K$. Le déterminant de Vandermonde associé à ces scalaires est le déterminant de la matrice $V(a_1, \dots, a_n)$ définie par : $$ V(a_1, a_2, \dots, a_n) = \det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \dots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \dots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \dots & a_n^{n-1} \end{pmatrix} $$ Sa valeur est donnée par le produit de toutes les différences possibles $(a_j – a_i)$ avec $i < j$ : $$ V(a_1, a_2, \dots, a_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (a_j - a_i) $$
Démonstration
Nous allons établir une relation de récurrence. Considérons le déterminant comme un polynôme $P(X)$ de la variable $a_n=X$ : $$ P(X) = V(a_1, \dots, a_{n-1}, X) = \det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & \dots & a_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_{n-1} & \dots & a_{n-1}^{n-1} \\ 1 & X & \dots & X^{n-1} \end{pmatrix} $$ Ce polynôme s’annule pour $X=a_1, X=a_2, \dots, X=a_{n-1}$, car si $X$ est égal à l’un de ces $a_k$, la matrice a deux lignes identiques et son déterminant est nul. $P(X)$ est donc de la forme : $$ P(X) = \alpha \prod_{i=1}^{n-1} (X – a_i) $$ Le coefficient dominant $\alpha$ est le coefficient de $X^{n-1}$. En développant le déterminant par rapport à la dernière ligne, on voit que ce coefficient est le cofacteur de $X^{n-1}$, qui est le déterminant de Vandermonde d’ordre $n-1$, $V(a_1, \dots, a_{n-1})$.
On a donc la relation de récurrence : $$ V(a_1, \dots, a_n) = V(a_1, \dots, a_{n-1}) \times \prod_{i=1}^{n-1} (a_n – a_i) $$ La formule générale s’obtient alors par une simple récurrence sur $n$. Pour $n=2$, $V(a_1, a_2) = a_2 – a_1$, ce qui est correct. En supposant la formule vraie à l’ordre $n-1$, la relation de récurrence permet de la prouver à l’ordre $n$.