Déterminant d’une matrice

Déterminant d’une Matrice
Définition : Déterminant d’une Matrice

Soit $K$ un corps commutatif et $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans $K$. On définit le déterminant de A, noté $\det(A)$, par la formule de Leibniz : $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{\sigma(1),1} a_{\sigma(2),2} \dots a_{\sigma(n),n} $$

Remarque (Règles de calcul)

  1. Le déterminant d’une matrice peut être vu comme le déterminant de ses vecteurs colonnes dans la base canonique. Si $v_j$ sont les colonnes de $A$, alors $\det(A) = \det_{\beta_{can}}(v_1, \dots, v_n)$. Les propriétés des formes n-linéaires alternées se traduisent en règles de calcul sur les colonnes :
    • Règle 1 : Permuter deux colonnes de $A$ change le signe du déterminant.
    • Règle 2 : Ajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes ne change pas la valeur du déterminant.
    • Règle 3 : Pour $\lambda \in K$, $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$.
    • Règle 4 : Si les colonnes de $A$ forment une famille liée, alors $\det(A)=0$.
  2. Si $u$ est un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension $n$ et si $A$ est la matrice de $u$ dans une base $\beta$, alors $\det(u) = \det(A)$.
Théorème : Propriétés Fondamentales du Déterminant

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients dans $K$.

  1. $\det(I_n) = 1$.
  2. Le déterminant est multiplicatif : $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.
  3. Une matrice $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Démonstration

Ces propriétés découlent directement de celles du déterminant d’un endomorphisme. Soient $u$ et $v$ les endomorphismes de $K^n$ canoniquement associés à $A$ et $B$. La matrice de $u \circ v$ est $AB$. On a alors $\det(AB) = \det(u \circ v) = \det(u)\det(v) = \det(A)\det(B)$. De même, $A$ est inversible si et seulement si $u$ l’est, ce qui équivaut à $\det(u) \neq 0$, soit $\det(A) \neq 0$.

Proposition : Déterminant de la Transposée

Pour toute matrice carrée $A$, son déterminant est égal à celui de sa transposée : $$ \det(A) = \det({}^t A) $$

Démonstration

Soit $A=(a_{ij})$. Par définition, $\det({}^t A) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \dots a_{n,\sigma(n)}$. En réordonnant les termes du produit pour avoir les indices de colonne dans l’ordre $1, \dots, n$, on utilise la permutation inverse $\sigma^{-1}$. Le produit devient $a_{\sigma^{-1}(1),1} \dots a_{\sigma^{-1}(n),n}$. Comme $\varepsilon(\sigma^{-1})=\varepsilon(\sigma)$ et que l’application $\sigma \mapsto \sigma^{-1}$ est une bijection de $S_n$ dans lui-même, la somme est inchangée et est égale à $\det(A)$.