Algèbre Linéaire et Bilinéaire
Espaces Vectoriels
Applications Linéaires & Matrices
Dualité
Déterminants
Réduction des Endomorphismes
Formes Bilinéaires & Quadratiques
Espaces Euclidiens
Exercices Corrigés
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Méthodes et Savoir-faire
Méthodes : Espaces Vectoriels
- Démontrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel
- Montrer qu’une famille de vecteurs est libre
- Montrer qu’une famille de vecteurs est liée
- Savoir si une famille de vecteurs est une base
- Déterminer une base à partir d’une famille génératrice
- Compléter une famille libre en base
- Trouver la dimension d’un espace vectoriel
- Trouver l’intersection de deux sous-espaces
- Trouver base et dimension de la somme de deux sous-espaces
- Prouver que deux sous-espaces sont supplémentaires
- Utiliser la formule de Grassmann
Méthodes : Applications Linéaires & Matrices
- Vérifier la linéarité d’une application
- Prouver qu’une application n’est pas linéaire
- Calculer le noyau d’une application linéaire
- Trouver l’image d’une application linéaire
- Appliquer le théorème du rang
- Montrer qu’un endomorphisme est un isomorphisme
- Identifier homothétie, projection, symétrie
- Écrire la matrice d’une application linéaire
- Utiliser une matrice de passage
- Passer des coordonnées d’une base à une autre
- Calculer le rang d’une matrice (pivot de Gauss)
- Déterminer le rang à partir de la matrice
- Calculer la trace d’une matrice
- Rang de la composée de deux applications linéaires
Méthodes : Dualité
Méthodes : Déterminants
- Astuces pour simplifier le calcul d’un déterminant
- Méthode des cofacteurs pour le calcul de déterminant
- Calculer un déterminant 4×4
- Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs
- Calculer le déterminant de Vandermonde
- Savoir si une matrice est inversible sans calcul
- Comprendre le lien entre rang et déterminant
- Inverser une matrice 3×3 (méthode rapide)
- Inverser une matrice avec la comatrice
- Résoudre un système avec la méthode de Cramer
Méthodes : Réduction
- Calculer le polynôme caractéristique
- Trouver les valeurs propres d’une matrice
- Déterminer les vecteurs propres
- Multiplicité algébrique vs géométrique
- Test pour savoir si une matrice est diagonalisable
- Diagonalisation d’une matrice symétrique réelle
- Trigonaliser une matrice
- Trouver le polynôme minimal d’une matrice
- Déterminer si un endomorphisme est nilpotent
- Calculer la puissance n-ième d’une matrice
- Calculer l’exponentielle d’une matrice
- Utiliser la décomposition de Dunford
- Utiliser la réduction de Jordan
Méthodes : Formes Bilinéaires
- Trouver la matrice d’une forme bilinéaire
- Passer d’une forme quadratique à sa forme polaire
- Appliquer la réduction de Gauss
- Décomposition en carrés de Gauss
- Déterminer rang et signature d’une forme quadratique
- Critères pour les formes quadratiques définies positives
- Trouver une base orthogonale (méthode de Gauss)
Méthodes : Espaces Euclidiens
- Prouver qu’une forme est un produit scalaire
- Normaliser un vecteur
- Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
- Vérifier si une base est orthonormale
- Trouver le supplémentaire orthogonal
- Calculer la projection orthogonale d’un vecteur
- Calculer la distance d’un vecteur à un sous-espace
- Trouver la matrice d’une projection orthogonale
- Trouver la matrice d’une symétrie orthogonale
- Reconnaître un projecteur orthogonal
- Reconnaître un endomorphisme symétrique (autoadjoint)
- Calculer l’adjoint d’un endomorphisme
- Vérifier qu’une matrice est orthogonale
- Matrice de Gram : calcul et application