Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$, et $\tilde{A}$ sa matrice adjointe (la transposée de sa comatrice). Alors, on a la relation fondamentale suivante : $$ A \tilde{A} = \tilde{A} A = \det(A) I_n $$ où $I_n$ est la matrice identité d’ordre $n$.
Démonstration
Soit $A=(a_{ij})$ et $C = A\tilde{A} = (c_{ij})$. Le coefficient $c_{ij}$ est le produit de la $i$-ème ligne de $A$ par la $j$-ème colonne de $\tilde{A}$. La $j$-ème colonne de $\tilde{A}$ est la $j$-ème ligne de $com(A)$, dont les termes sont les cofacteurs $(-1)^{j+k}\Delta_{jk}$.
On a donc $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{j+k} \Delta_{jk}$.
- Cas diagonal ($i=j$) : Le coefficient $c_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{i+k} \Delta_{ik}$ est précisément la formule du développement du déterminant de $A$ par rapport à la $i$-ème ligne. Donc, $c_{ii} = \det(A)$.
- Cas hors-diagonale ($i \neq j$) : La somme $c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{j+k} \Delta_{jk}$ peut être interprétée comme le développement par rapport à la ligne $j$ du déterminant d’une matrice $B$ qui serait identique à $A$, sauf que sa $j$-ème ligne a été remplacée par la $i$-ème ligne de $A$. Une telle matrice $B$ possède deux lignes identiques (les lignes $i$ et $j$), son déterminant est donc nul. Par conséquent, $c_{ij}=0$.
On a donc montré que $A\tilde{A} = \det(A)I_n$. La preuve pour $\tilde{A}A$ est analogue en développant par rapport aux colonnes.
Remarque
Ce théorème fournit une formule explicite pour l’inverse d’une matrice. Si $A$ est inversible, alors $\det(A) \neq 0$, et on peut écrire : $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \tilde{A} $$
Exemple : Inverse d’une matrice 2×2
Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Son déterminant est $\det(A) = ad-bc$.
Les mineurs sont $\Delta_{11}=d, \Delta_{12}=c, \Delta_{21}=b, \Delta_{22}=a$.
La comatrice est $com(A) = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$.
La matrice adjointe est $\tilde{A} = {}^t(com(A)) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Si $A$ est inversible, son inverse est donc : $$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$