Polynôme caractéristique

Polynôme Caractéristique
Définition : Polynôme Caractéristique d’une Matrice

Soit $A = (a_{ij})$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients dans un corps $K$. On appelle polynôme caractéristique de $A$, noté $\chi_A$, le déterminant de la matrice $XI_n – A$, où $X$ est une indéterminée. $$ \chi_A(X) = \det(XI_n – A) $$

Remarque

Concrètement, le polynôme caractéristique se calcule comme suit : $$ \chi_A(X) = \det \begin{pmatrix} X – a_{11} & -a_{12} & \dots & -a_{1n} \\ -a_{21} & X – a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & X – a_{nn} \end{pmatrix} $$

Exemple pour n=2

Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, son polynôme caractéristique est : $$ \chi_A(X) = \det \begin{pmatrix} X-a & -b \\ -c & X-d \end{pmatrix} = (X-a)(X-d) – bc = X^2 – (a+d)X + (ad-bc) $$ On reconnaît la formule : $\chi_A(X) = X^2 – tr(A)X + \det(A)$.

Proposition : Forme du Polynôme Caractéristique

Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$, son polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ est un polynôme unitaire de degré $n$.

Démonstration

D’après la formule de Leibniz, $\det(XI-A) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n (XI-A)_{i, \sigma(i)}$. Le seul terme de cette somme qui peut atteindre le degré $n$ est celui associé à la permutation identité ($\sigma=id$), qui donne le produit des termes diagonaux : $\prod_{i=1}^n (X – a_{ii})$. Ce produit est un polynôme unitaire de degré $n$. Pour toute autre permutation $\sigma \neq id$, il existe au moins un indice $i_0$ tel que $\sigma(i_0) \neq i_0$, ce qui signifie que le terme $(XI-A)_{i_0, \sigma(i_0)}$ est un scalaire (degré 0). Le degré du produit correspondant est donc strictement inférieur à $n$. Par conséquent, le terme de plus haut degré de $\chi_A(X)$ est $X^n$, et le polynôme est bien unitaire de degré $n$.

Proposition : Invariance par Similitude

Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

Démonstration

Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables. Il existe une matrice inversible $P$ telle que $B=P^{-1}AP$. Calculons le polynôme caractéristique de $B$ : $$ \chi_B(X) = \det(XI – B) = \det(XI – P^{-1}AP) $$ $$ = \det(P^{-1}(XI)P – P^{-1}AP) = \det(P^{-1}(XI-A)P) $$ En utilisant la multiplicativité du déterminant, on obtient : $$ \det(P^{-1})\det(XI-A)\det(P) = \det(XI-A) = \chi_A(X) $$ Les polynômes caractéristiques sont donc identiques.

Définition : Polynôme Caractéristique d’un Endomorphisme

Soit $u$ un endomorphisme d’un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On appelle polynôme caractéristique de u, noté $\chi_u$, le polynôme caractéristique de n’importe quelle matrice représentant $u$ dans une base de $E$.

Remarque

  1. Cette définition est cohérente car, d’après la proposition précédente, toutes les matrices représentant le même endomorphisme dans des bases différentes sont semblables et ont donc le même polynôme caractéristique.
  2. Si $\dim(E)=n$, alors le degré de $\chi_u$ est $n$.
  3. Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique sont en général distincts.

Exemples

  • Si $u=0$, son polynôme minimal est $M_u(X)=X$ et son polynôme caractéristique est $\chi_u(X)=X^n$.
  • Si $u=Id_E$, son polynôme minimal est $M_u(X)=X-1$ et son polynôme caractéristique est $\chi_u(X)=(X-1)^n$.
  • Si $u$ est un projecteur de rang $n-p$ (avec $p=\dim(Ker(u))$), son polynôme minimal est $M_u(X)=X(X-1)$ (si $p \notin \{0,n\}$), et son polynôme caractéristique est $\chi_u(X)=X^p(X-1)^{n-p}$.