Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$. Alors le polynôme caractéristique de $u$ est un polynôme annulateur pour $u$. Autrement dit : $$ \chi_u(u) = 0 $$ Une conséquence directe est que le polynôme minimal $M_u$ divise le polynôme caractéristique $\chi_u$.
Démonstration
Pour démontrer ce théorème fondamental, nous avons besoin de quelques résultats intermédiaires concernant les sous-espaces stables.
Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par u si l’image de tout vecteur de $F$ par $u$ reste dans $F$, c’est-à-dire : $u(F) \subseteq F$.
Remarque
Un sous-espace $F$ est stable par $u$ si et seulement si $\forall x \in F, u(x) \in F$.
Exemples
- Les sous-espaces triviaux $\{0\}$ et $E$ sont toujours stables par n’importe quel endomorphisme.
- Le noyau $Ker(u)$ et l’image $Im(u)$ sont toujours stables par $u$.
- Si deux endomorphismes $u$ et $v$ commutent ($u \circ v = v \circ u$), alors le noyau et l’image de l’un sont stables par l’autre.
Soit $u$ un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension finie $n$, et $F$ un sous-espace stable par $u$. Soit $v$ l’endomorphisme induit par $u$ sur $F$. Alors le polynôme caractéristique de $v$, $\chi_v$, divise le polynôme caractéristique de $u$, $\chi_u$.
Soit $u$ un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension finie. Pour tout vecteur non nul $x \in E$, il existe un unique polynôme unitaire $M_x \in K[X]$, appelé polynôme minimal de $x$ relatif à $u$, tel que :
- $M_x(u)(x) = 0$.
- Pour tout polynôme $P \in K[X]$, si $P(u)(x)=0$, alors $M_x$ divise $P$.
Avec les mêmes notations que le lemme 2, soit $p = \deg(M_x)$. On considère le sous-espace $F_x = Vect(\{x, u(x), \dots, u^{p-1}(x)\})$. Alors :
- $\dim(F_x) = p = \deg(M_x)$.
- $F_x$ est stable par $u$.
- Si $v$ est l’endomorphisme induit par $u$ sur $F_x$, alors son polynôme caractéristique est égal au polynôme minimal de $x$ : $\chi_v = M_x$.
Preuve du Théorème de Cayley-Hamilton
Pour montrer que $\chi_u(u) = 0$, il suffit de prouver que pour tout vecteur $x \in E$, on a $\chi_u(u)(x) = 0$. Soit $x \in E$ un vecteur non nul.
Considérons le sous-espace $F_x$ et l’endomorphisme induit $v$ définis dans le Lemme 3. D’après ce lemme, on sait que $\chi_v = M_x$. Par définition du polynôme minimal de $x$, on a $M_x(u)(x) = 0$, ce qui signifie donc que $\chi_v(u)(x) = 0$.
Maintenant, d’après le Lemme 1, comme $F_x$ est un sous-espace stable par $u$, le polynôme caractéristique $\chi_v$ de l’endomorphisme induit divise le polynôme caractéristique $\chi_u$ de l’endomorphisme global. Il existe donc un polynôme $Q$ tel que $\chi_u = Q \cdot \chi_v$.
En évaluant en $u$, on obtient $\chi_u(u) = Q(u) \circ \chi_v(u)$. Appliquons cet endomorphisme à notre vecteur $x$ : $$ \chi_u(u)(x) = (Q(u) \circ \chi_v(u))(x) = Q(u)(\chi_v(u)(x)) $$ Comme nous avons établi que $\chi_v(u)(x) = 0$, on a : $$ \chi_u(u)(x) = Q(u)(0) = 0 $$ Ceci étant vrai pour tout vecteur $x \in E$, l’endomorphisme $\chi_u(u)$ est l’endomorphisme nul.