Comment Calculer une Intégrale par Symétrie
Utiliser la symétrie est une technique puissante qui ne s’applique que dans un cas précis : lorsque l’on intègre une fonction sur un intervalle centré en 0, c’est-à-dire un intervalle de la forme $[-a, a]$. La méthode repose sur la parité de la fonction (paire ou impaire).
- Vérifier l’intervalle d’intégration : La technique fonctionne-t-elle ? L’intervalle doit être de la forme $[-a, a]$.
- Déterminer la parité de la fonction :
- La fonction est paire si $f(-x) = f(x)$.
- La fonction est impaire si $f(-x) = -f(x)$.
- Appliquer la propriété correspondante.
Cas 1 : La Fonction est Paire
Si $f$ est une fonction paire et continue sur $[-a, a]$, alors : $$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \,dx $$
Interprétation graphique : La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (axe y). L’aire sous la courbe de $-a$ à $0$ est donc exactement la même que l’aire de $0$ à $a$. Il suffit de calculer l’une de ces aires et de la multiplier par deux.
- Intervalle : L’intervalle est $[-2, 2]$, il est bien centré en 0.
- Parité : La fonction $f(x) = \cos(x)$ est paire, car $\cos(-x) = \cos(x)$.
- Application de la formule : $$ \int_{-2}^{2} \cos(x) \,dx = 2 \int_{0}^{2} \cos(x) \,dx $$ Une primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$. $$ = 2 \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2} = 2 (\sin(2) – \sin(0)) = 2\sin(2) $$
Cas 2 : La Fonction est Impaire
Si $f$ est une fonction impaire et continue sur $[-a, a]$, alors : $$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 0 $$
Interprétation graphique : La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. L’aire « positive » (au-dessus de l’axe des abscisses) entre $0$ et $a$ est exactement compensée par une aire « négative » (en dessous de l’axe) entre $-a$ et $0$. La somme des deux aires est donc nulle.
- Intervalle : L’intervalle est $[-5, 5]$, il est bien centré en 0.
- Parité : La fonction $f(x) = x^3$ est impaire, car $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
- Application de la formule :
La fonction est impaire et l’intervalle est centré en 0, donc : $$ \int_{-5}^{5} x^3 \,dx = 0 $$ Le calcul est immédiat, sans même avoir besoin de trouver une primitive.