La formule de Leibniz est une généralisation de la formule de dérivation d’un produit à un ordre de dérivation quelconque $n$. Elle est très similaire à la formule du binôme de Newton, ce qui la rend facile à mémoriser.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions $n$ fois dérivables sur un intervalle $I$. Alors leur produit $f \cdot g$ est aussi $n$ fois dérivable sur $I$ et on a : $$(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$
Où :
- $(f \cdot g)^{(n)}$ est la dérivée n-ième du produit.
- $f^{(k)}$ est la dérivée k-ième de $f$ (avec $f^{(0)}=f$).
- $g^{(n-k)}$ est la dérivée (n-k)-ième de $g$.
- $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial (« k parmi n »).
Développée, la formule ressemble à ceci :
$(f \cdot g)^{(n)} = \binom{n}{0}f^{(0)}g^{(n)} + \binom{n}{1}f^{(1)}g^{(n-1)} + \binom{n}{2}f^{(2)}g^{(n-2)} + \dots + \binom{n}{n}f^{(n)}g^{(0)}$
La Stratégie d’Application
La formule est particulièrement efficace quand l’une des deux fonctions est un polynôme, car ses dérivées successives deviendront nulles, ce qui simplifiera grandement la somme.
- Identifier $f$ et $g$ : On pose $h(x) = f(x)g(x)$. Il est stratégique de choisir pour $f(x)$ la fonction polynomiale.
- Calculer les dérivées successives : On calcule les dérivées $f^{(k)}$ et $g^{(k)}$. On note à partir de quel rang la dérivée de $f$ s’annule.
- Écrire la somme : On écrit la formule de Leibniz en s’arrêtant au rang où la dérivée de $f$ devient nulle.
- Substituer et simplifier : On remplace les dérivées et les coefficients binomiaux par leurs expressions et on simplifie le résultat.
Calculer la dérivée n-ième de la fonction $h(x) = x^2 e^x$.
- Identification :
- On choisit le polynôme pour $f$ : $f(x) = x^2$.
- Et donc $g(x) = e^x$.
- Dérivées successives :
- $f^{(0)}(x) = x^2$ ; $f^{(1)}(x) = 2x$ ; $f^{(2)}(x) = 2$ ; $f^{(k)}(x) = 0$ pour $k \ge 3$.
- $g^{(k)}(x) = e^x$ pour tout entier $k$.
- Écrire la somme : Comme les dérivées de $f$ sont nulles pour $k \ge 3$, la somme de Leibniz s’arrête à $k=2$.
$h^{(n)}(x) = \binom{n}{0}f^{(0)}(x)g^{(n)}(x) + \binom{n}{1}f^{(1)}(x)g^{(n-1)}(x) + \binom{n}{2}f^{(2)}(x)g^{(n-2)}(x)$ - Substituer et simplifier :
Rappel : $\binom{n}{0}=1$, $\binom{n}{1}=n$, $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.
$h^{(n)}(x) = 1 \cdot (x^2) \cdot (e^x) + n \cdot (2x) \cdot (e^x) + \frac{n(n-1)}{2} \cdot (2) \cdot (e^x)$
$h^{(n)}(x) = x^2 e^x + 2nx e^x + n(n-1) e^x$
En factorisant par $e^x$ : $$h^{(n)}(x) = e^x [x^2 + 2nx + n(n-1)]$$