L’une des applications les plus directes du nombre dérivé est le calcul de l’équation de la tangente à une courbe en un point donné. La tangente est la droite qui « effleure » la courbe en ce point et qui a la même direction qu’elle.
Si une fonction $f$ est dérivable en un point d’abscisse $a$, alors l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a, f(a))$ est donnée par la formule : $$ y = f'(a)(x-a) + f(a) $$
On y reconnaît les éléments d’une équation de droite $y=mx+p$ :
- Le coefficient directeur $m$ est le nombre dérivé $f'(a)$.
- L’ordonnée à l’origine $p$ est $f(a) – a \cdot f'(a)$.
La Stratégie en 4 Étapes
- Calculer $f(a)$ : C’est l’ordonnée du point de contact.
- Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ : On utilise les formules de dérivation.
- Calculer le nombre dérivé $f'(a)$ : C’est le coefficient directeur de la tangente.
- Appliquer la formule : On remplace les valeurs de $a$, $f(a)$ et $f'(a)$ dans la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ et on simplifie l’expression pour obtenir une équation de la forme $y = mx+p$.
Trouver l’équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x) = x^2 – 4x + 6$ au point d’abscisse $a=3$.
- Calcul de $f(3)$ :
$f(3) = 3^2 – 4(3) + 6 = 9 – 12 + 6 = 3$.
Le point de contact est $A(3, 3)$. - Calcul de $f'(x)$ :
$f'(x) = 2x – 4$. - Calcul de $f'(3)$ :
$f'(3) = 2(3) – 4 = 6 – 4 = 2$.
La pente de la tangente est 2. - Application de la formule :
$y = f'(3)(x-3) + f(3)$
$y = 2(x-3) + 3$
$y = 2x – 6 + 3$
$y = 2x – 3$
Conclusion : L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3 est $y = 2x – 3$.
Si $f'(a) = 0$, la formule devient $y = 0(x-a) + f(a)$, soit $y=f(a)$. C’est l’équation d’une droite horizontale. Les tangentes horizontales apparaissent aux points d’extrema locaux (maximums ou minimums).
Position de la Courbe par Rapport à sa Tangente
Pour étudier la position de la courbe $C_f$ par rapport à sa tangente $T_a$ au point d’abscisse $a$, on étudie le signe de la différence : $$ d(x) = f(x) – y_{T_a} = f(x) – [f'(a)(x-a) + f(a)] $$
- Si $d(x) \ge 0$ au voisinage de $a$, la courbe est au-dessus de sa tangente.
- Si $d(x) \le 0$ au voisinage de $a$, la courbe est en dessous de sa tangente.
- Si $d(x)$ change de signe en $a$, la tangente traverse la courbe. C’est le cas à un point d’inflexion.
L’étude est grandement simplifiée si l’on connaît la concavité de la fonction :
- Si $f$ est convexe au voisinage de $a$ (souvent, si $f »(a) > 0$), la courbe est au-dessus de sa tangente.
- Si $f$ est concave au voisinage de $a$ (souvent, si $f »(a) < 0$), la courbe est en dessous de sa tangente.
Étudier la position de $f(x) = x^2 – 4x + 6$ par rapport à sa tangente en $a=3$.
Nous avons vu que la tangente est $T_3: y = 2x-3$.
- On pose la différence :
$d(x) = f(x) – y = (x^2 – 4x + 6) – (2x – 3)$ - On simplifie :
$d(x) = x^2 – 6x + 9$
On reconnaît une identité remarquable : $d(x) = (x-3)^2$. - On étudie le signe :
Un carré est toujours positif ou nul. Donc, $d(x) \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Conclusion : La différence est toujours positive, donc la courbe de $f$ est toujours au-dessus de sa tangente $T_3$. Le seul point de contact est pour $x=3$, où $d(3)=0$.
Vérification par la concavité : $f'(x) = 2x – 4$, donc $f »(x)=2$. Comme $f »(x) > 0$ partout, la fonction est toujours convexe, ce qui confirme que sa courbe est toujours au-dessus de toutes ses tangentes.