Toutes les suites n’ont pas la chance de converger. Certaines, comme $u_n = (-1)^n$, oscillent sans jamais se stabiliser. Les notions de limite supérieure ($\limsup$) et limite inférieure ($\liminf$) ont été introduites pour décrire le comportement asymptotique de n’importe quelle suite (bornée ou non).
Intuitivement, pour une suite bornée :
- La limite supérieure est la plus grande valeur d’accumulation (ou valeur d’adhérence) de la suite.
- La limite inférieure est la plus petite valeur d’accumulation de la suite.
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. On définit deux suites auxiliaires :
- La suite $(I_n)$ définie par $I_n = \inf \{u_k \mid k \ge n\}$. C’est l’infimum (la borne inférieure) de la « queue » de la suite à partir du rang $n$.
- La suite $(S_n)$ définie par $S_n = \sup \{u_k \mid k \ge n\}$. C’est le supremum (la borne supérieure) de la « queue » de la suite à partir du rang $n$.
On peut montrer que la suite $(I_n)$ est croissante et que la suite $(S_n)$ est décroissante. Elles admettent donc toujours une limite (finie ou infinie).
On définit alors : $$ \liminf_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{k \ge n} u_k \right) $$ $$ \limsup_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sup_{k \ge n} u_k \right) $$
Exemple : La suite $u_n = (-1)^n + \frac{1}{n+1}$
Les premiers termes sont : $u_0=2$, $u_1 = -1 + 1/2 = -0.5$, $u_2 = 1 + 1/3 \approx 1.33$, $u_3 = -1 + 1/4 = -0.75$, …
La suite oscille : les termes de rang pair s’approchent de 1 par le haut, et les termes de rang impair s’approchent de -1 par le haut.
Calcul de la limite supérieure :
On s’intéresse à $S_n = \sup \{u_k \mid k \ge n\}$. Pour $n$ assez grand, les termes de la suite sont proches de 1 ou -1. Le supremum de la « queue » de la suite sera toujours un terme de rang pair. Par exemple, $S_n$ sera $u_n$ si $n$ est pair, ou $u_{n+1}$ si $n$ est impair. Dans tous les cas, $\lim_{n \to \infty} S_n = 1$. Donc, $\boldsymbol{\limsup_{n \to \infty} u_n = 1}$.
Calcul de la limite inférieure :
On s’intéresse à $I_n = \inf \{u_k \mid k \ge n\}$. Pour $n$ assez grand, la borne inférieure de la queue de la suite sera toujours un terme de rang impair. Quand $n \to \infty$, ces termes se rapprochent de -1. Donc, $\boldsymbol{\liminf_{n \to \infty} u_n = -1}$.
- Pour toute suite $(u_n)$, on a toujours $\boldsymbol{\liminf u_n \le \limsup u_n}$.
- Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L \in \mathbb{R}$ si et seulement si ses limites inférieure et supérieure sont égales et finies : $$ \liminf_{n \to \infty} u_n = \limsup_{n \to \infty} u_n = L $$
- Si une suite n’est pas majorée, $\limsup u_n = +\infty$.
- Si une suite n’est pas minorée, $\liminf u_n = -\infty$.
Ainsi, les limites sup et inf fournissent un critère de convergence puissant. Pour notre exemple, comme $\liminf u_n = -1 \neq 1 = \limsup u_n$, on peut conclure que la suite $(u_n)$ ne converge pas.