Parfois, une fonction n’est pas définie en un point $a$, mais elle admet une limite finie en ce point. Graphiquement, cela correspond à un « trou » dans la courbe que l’on pourrait « boucher » pour rendre la fonction continue. C’est l’idée du prolongement par continuité.
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D_f$ et soit $a$ un point adhérent à $D_f$ tel que $a \notin D_f$.
Si $f$ admet une limite finie $L$ au point $a$ (c’est-à-dire $\lim_{x \to a} f(x) = L \in \mathbb{R}$), alors on peut définir une nouvelle fonction $\tilde{f}$, appelée prolongement par continuité de $f$ en $a$, de la manière suivante :
$$ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in D_f \\ L & \text{si } x = a \end{cases} $$Cette nouvelle fonction $\tilde{f}$ est alors continue au point $a$. Si la limite est infinie ou n’existe pas, aucun prolongement continu n’est possible.
La Stratégie en 3 Étapes
- Identifier le point d’étude : Repérer le point $a$ où la fonction n’est pas définie mais où un prolongement pourrait avoir un sens.
- Calculer la limite : Calculer $\lim_{x \to a} f(x)$.
- Conclure :
- Si la limite est un réel fini $L$, on peut prolonger la fonction par continuité en posant $\tilde{f}(a) = L$.
- Si la limite est infinie ou si elle n’existe pas (par exemple, si les limites à gauche et à droite sont différentes), la fonction n’est pas prolongeable par continuité en $a$.
Exemple 1 : Le sinus cardinal $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$
- La fonction n’est pas définie en $a=0$.
- On calcule la limite en 0. C’est une limite usuelle (qui se démontre avec le taux d’accroissement) : $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$$
- La limite est finie et vaut 1. On peut donc prolonger $f$ par continuité en 0. Le prolongement $\tilde{f}$ est : $$ \tilde{f}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases} $$
Exemple 2 : Contre-exemple avec $g(x) = \frac{|x|}{x}$
- La fonction n’est pas définie en $a=0$.
- On étudie la limite en 0 :
- Limite à droite : $\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$.
- Limite à gauche : $\lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$.
- Les limites à gauche et à droite sont différentes. La fonction n’admet donc pas de limite en 0. Il est impossible de la prolonger par continuité en ce point.