L’étude de la parité d’une fonction est une étape préliminaire qui, si elle est concluante, permet de simplifier considérablement l’analyse. Elle repose sur l’étude des symétries de la courbe représentative de la fonction.
Définitions
Soit $f$ une fonction et $D_f$ son ensemble de définition.
-
$f$ est une fonction paire si pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$.
Interprétation graphique : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées $(Oy)$. -
$f$ est une fonction impaire si pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$.
Interprétation graphique : La courbe est symétrique par rapport à l’origine $O$.
La Stratégie en 3 Étapes
- Vérifier le domaine de définition : C’est l’étape obligatoire. On vérifie que $D_f$ est symétrique par rapport à 0. Si pour un $x$ dans $D_f$, son opposé $-x$ n’y est pas, la fonction ne peut être ni paire ni impaire. Par exemple, $D_f = [-2, 3]$ n’est pas symétrique. $D_f = \mathbb{R}^*$ ou $D_f = [-5, 5]$ le sont.
- Calculer $f(-x)$ : On remplace $x$ par $-x$ dans l’expression de la fonction et on simplifie au maximum.
- Comparer et conclure :
- Si on retombe sur $f(x)$, la fonction est paire.
- Si on retombe sur $-f(x)$, la fonction est impaire.
- Si le résultat n’est ni $f(x)$ ni $-f(x)$, la fonction n’est ni paire, ni impaire.
Exemples
Exemple 1 : $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$
- $D_f = \mathbb{R}^*$, qui est bien symétrique par rapport à 0.
- $f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin(x)}{-x}$ car la fonction sinus est impaire.
- $f(-x) = \frac{\sin(x)}{x} = f(x)$. La fonction est paire.
Exemple 2 : $g(x) = x^3 – 5x$
- $D_g = \mathbb{R}$, qui est symétrique.
- $g(-x) = (-x)^3 – 5(-x) = -x^3 + 5x$.
- $g(-x) = -(x^3 – 5x) = -g(x)$. La fonction est impaire.
Exemple 3 : $h(x) = x^2 + x$
- $D_h = \mathbb{R}$, qui est symétrique.
- $h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 – x$.
- On constate que $h(-x) \neq h(x)$ et $h(-x) \neq -h(x) = -x^2 – x$. La fonction n’est ni paire, ni impaire.