Prouver qu’une fonction admet une limite finie en $+\infty$ (ou $-\infty$) sans la calculer est une étape cruciale dans de nombreuses démonstrations. L’outil principal pour cela est le théorème de la limite monotone, qui est l’analogue pour les fonctions du théorème de convergence monotone pour les suites.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[a, +\infty[$.
- Si $f$ est croissante et majorée sur $[a, +\infty[$, alors $f$ admet une limite finie en $+\infty$. De plus, cette limite est $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup_{x \in [a, +\infty[} f(x)$.
- Si $f$ est décroissante et minorée sur $[a, +\infty[$, alors $f$ admet une limite finie en $+\infty$. De plus, cette limite est $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \inf_{x \in [a, +\infty[} f(x)$.
Un énoncé analogue existe bien sûr en $-\infty$.
La Stratégie en 2 Étapes
Pour prouver que $f$ a une limite finie en $+\infty$, la méthode consiste à vérifier les deux hypothèses du théorème :
- Étudier la monotonie : On étudie le signe de la dérivée $f'(x)$ sur un intervalle $[a, +\infty[$. Si $f'(x) \ge 0$, la fonction est croissante. Si $f'(x) \le 0$, elle est décroissante.
- Prouver que la fonction est bornée :
- Si $f$ est croissante, il faut la majorer (trouver un réel $M$ tel que $f(x) \le M$).
- Si $f$ est décroissante, il faut la minorer (trouver un réel $m$ tel que $f(x) \ge m$).
Si ces deux conditions sont remplies, on peut conclure grâce au théorème.
Soit la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt$. Montrons que $F$ admet une limite finie en $+\infty$.
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Monotonie : D’après le théorème fondamental de l’analyse, $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F'(x) = e^{-x^2}$.
Pour tout réel $x$, on a $e^{-x^2} > 0$. Donc $F'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction $F$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. -
Prouver qu’elle est majorée : C’est l’étape la plus délicate. Il faut majorer l’intégrale.
Pour $t \ge 1$, on a $t^2 \ge t$, ce qui implique $-t^2 \le -t$ et donc $e^{-t^2} \le e^{-t}$.
On peut alors décomposer l’intégrale pour $x \ge 1$ : $$ F(x) = \int_0^1 e^{-t^2} dt + \int_1^x e^{-t^2} dt $$ Le premier terme, $\int_0^1 e^{-t^2} dt$, est une constante positive (notons-la $C$).
Pour le second terme, on utilise la majoration : $$ \int_1^x e^{-t^2} dt \le \int_1^x e^{-t} dt = \left[-e^{-t}\right]_1^x = -e^{-x} – (-e^{-1}) = \frac{1}{e} – e^{-x} $$ Comme $e^{-x} > 0$, on a $\frac{1}{e} – e^{-x} < \frac{1}{e}$.
On a donc pour tout $x \ge 1$ : $$ F(x) \le C + \frac{1}{e} $$ La fonction $F$ est croissante et majorée sur $[1, +\infty[$. Elle est donc majorée sur $\mathbb{R}$ tout entier. -
Conclusion : $F$ est croissante et majorée sur $\mathbb{R}$, donc d’après le théorème de la limite monotone, $F$ admet une limite finie en $+\infty$.
(On peut montrer que cette limite vaut $\sqrt{\pi}/2$).