Le calcul direct des limites mène parfois à des situations où les règles opératoires ne permettent pas de conclure. C’est ce qu’on appelle une forme indéterminée (F.I.). Lever l’indétermination consiste à transformer l’expression de la fonction pour pouvoir calculer la limite.
Il existe quatre F.I. principales à reconnaître :
- Type Quotient : $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty}{\infty}$
- Type Produit : $0 \times \infty$
- Type Somme : $+\infty – \infty$
Les formes $1^\infty$, $0^0$ et $\infty^0$ sont aussi des F.I., souvent traitées en utilisant la forme exponentielle $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}$.
Méthode 1 : Factoriser le terme dominant
Contexte : Très efficace pour les fractions rationnelles (polynômes) et autres expressions similaires en $\pm\infty$.
Principe : En $\pm\infty$, le comportement d’un polynôme est dicté par son terme de plus haut degré. On le met en facteur au numérateur et au dénominateur pour simplifier l’expression.
Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 – 5x + 1}{2x^2 + 7}$. On a une F.I. de type $\frac{\infty}{\infty}$.
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(3 – \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(2 + \frac{7}{x^2})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 – \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{7}{x^2}} = \frac{3-0+0}{2+0} = \frac{3}{2} $$Méthode 2 : Utiliser l’expression conjuguée
Contexte : Indispensable lorsque des racines carrées créent une F.I. de type $+\infty – \infty$ ou $\frac{0}{0}$.
Principe : On multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée pour faire apparaître une identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ qui élimine les racines carrées problématiques.
Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} – x)$. On a une F.I. de type $+\infty – \infty$.
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x} – x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+x) – x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})} + x} $$ $$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2} $$Méthode 3 : Reconnaître un taux d’accroissement
Contexte : Pour les F.I. de type $\frac{0}{0}$ qui ressemblent à la définition de la dérivée.
Principe : Si on a une limite de la forme $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, on sait que cette limite est, par définition, le nombre dérivé $f'(a)$.
Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) – 1}{x}$. On a une F.I. de type $\frac{0}{0}$.
On reconnaît la forme $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ avec la fonction $f(x) = \cos(x)$.
La limite est donc $f'(0)$.
Or, $f'(x) = -\sin(x)$, donc $f'(0) = -\sin(0) = 0$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) – 1}{x} = 0 $$
Méthode 4 : Croissances comparées
Contexte : Pour les F.I. en $\pm\infty$ impliquant les fonctions exponentielle, logarithme et puissance ($x^\alpha$).
Principe : En l’infini, l’exponentielle « l’emporte » sur les puissances, qui elles-mêmes « l’emportent » sur le logarithme.
Limites de référence en $+\infty$ :
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^\alpha} = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^\alpha} = 0$ (pour $\alpha > 0$)
- $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln(x) = 0$ (pour $\alpha > 0$)
Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$. C’est une F.I. $\frac{\infty}{\infty}$.
On pose $X=2x$. La limite devient $\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{(X/2)^3} = \lim_{X \to +\infty} 8 \frac{e^X}{X^3}$.
Par croissances comparées, $\lim_{X \to +\infty} \frac{e^X}{X^3} = +\infty$, donc la limite est $+\infty$.