Alors qu’étudier la continuité en un seul point est très local, l’étude sur un intervalle entier est beaucoup plus puissante. Heureusement, on n’a pas besoin de tester chaque point un par un ! On utilise pour cela des théorèmes généraux.
- Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point $x$ de cet intervalle.
- Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ si :
- elle est continue sur l’intervalle ouvert $]a, b[$,
- elle est continue à droite en $a$ ($\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$),
- elle est continue à gauche en $b$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$).
La méthode pour prouver la continuité sur un intervalle $I$ repose sur le fait que les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition, et que la continuité se conserve par opérations.
- Identifier les fonctions usuelles : On reconnaît que les fonctions polynomiales, rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme et trigonométriques sont continues sur leur domaine de définition.
- Opérations sur les fonctions : Si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors :
- $f+g$, $f-g$ et $f \times g$ sont continues sur $I$.
- $f/g$ est continue sur $I$ pourvu que $g(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$.
- La composée $g \circ f$ est continue si les conditions d’application sont réunies.
- Conclure : On justifie que la fonction étudiée est une combinaison (somme, produit, composée…) de fonctions usuelles continues sur l’intervalle d’étude.
Exemple 1 : Fonction classique
Étudier la continuité de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-2}$ sur l’intervalle $I = [3, +\infty[$.
- Analyse de la fonction : $f$ est le quotient de deux fonctions :
- Le numérateur $u(x) = \sqrt{x}$ est une fonction usuelle, continue sur son domaine $[0, +\infty[$.
- Le dénominateur $v(x) = x-2$ est une fonction polynomiale, continue sur $\mathbb{R}$.
- Continuité du quotient : Par les théorèmes généraux, $f = u/v$ est continue sur tout intervalle où $u$ et $v$ sont continues ET où $v(x) \neq 0$.
La fonction $f$ est donc continue sur $[0, +\infty[ \setminus \{2\}$. - Conclusion pour l’intervalle $I$ : L’intervalle d’étude $I = [3, +\infty[$ est inclus dans le domaine de continuité de $f$.
Donc, $f$ est continue sur $[3, +\infty[$.
Exemple 2 : Fonction définie par morceaux
Étudier la continuité de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ : $ g(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 5 - x^2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases} $
On doit étudier la continuité sur les intervalles ouverts, puis au point de jonction.
- Sur $]-\infty, 1[$ : Sur cet intervalle, $g(x) = x+3$. C’est une fonction polynomiale, donc elle est continue sur $]-\infty, 1[$.
- Sur $]1, +\infty[$ : Sur cet intervalle, $g(x) = 5-x^2$. C’est une fonction polynomiale, donc elle est continue sur $]1, +\infty[$.
- Au point de jonction $a=1$ : Il reste à vérifier si la fonction est continue en $x=1$. On utilise la méthode de la fiche précédente :
- $g(1) = 5 – 1^2 = 4$.
- $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+3) = 4$.
- $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (5-x^2) = 4$.
Conclusion : La fonction $g$ est continue sur $]-\infty, 1[$, sur $]1, +\infty[$ et au point 1. Elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.