Les fonctions définies par morceaux changent d’expression sur différents intervalles. La question de leur continuité se pose principalement aux points de jonction, c’est-à-dire les valeurs de $x$ où la formule change.
- Identifier les points de jonction : Repérer les valeurs de $a$ où la définition de la fonction change.
- Continuité sur les intervalles ouverts : Sur chaque intervalle ouvert où la fonction est définie par une seule expression (ex: un polynôme, une fraction rationnelle), on justifie qu’elle est continue car elle est composée ou une opération de fonctions usuelles continues.
- Étude aux points de jonction : Pour chaque point de jonction $a$, on doit vérifier si le « raccord » se fait bien. Pour cela, on calcule trois choses :
- La limite à gauche en $a$ : $\lim_{x \to a^-} f(x)$, en utilisant la formule valable pour $x < a$.
- La limite à droite en $a$ : $\lim_{x \to a^+} f(x)$, en utilisant la formule valable pour $x > a$.
- La valeur de la fonction en $a$ : $f(a)$, en utilisant la formule où $x=a$.
La fonction est continue en $a$ si et seulement si ces trois valeurs sont finies et égales : $$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$$
Exemples d’Application
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 3x – 1 & \text{si } x > 1 \end{cases} $$
- Le seul point de jonction est $a=1$.
- Sur $]-\infty, 1[$, $f(x)=x^2+1$ est continue (fonction polynôme). Sur $]1, +\infty[$, $f(x)=3x-1$ est continue (fonction affine).
- Étude en $a=1$ :
- Limite à gauche : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2+1) = 1^2+1 = 2$.
- Limite à droite : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x-1) = 3(1)-1 = 2$.
- Valeur en 1 : $f(1) = 1^2+1 = 2$ (on utilise la première ligne car $x \le 1$).
Conclusion : Les trois valeurs sont égales à 2. La fonction $f$ est donc continue en 1. Comme elle est continue ailleurs, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ g(x) = \begin{cases} x+2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases} $$
- Le point de jonction est $a=0$.
- La continuité sur $\mathbb{R}^*$ est évidente (fonctions polynômes).
- Étude en $a=0$ :
- Limite à gauche : $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+2) = 2$.
- Limite à droite : $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2) = 0$.
- Valeur en 0 : $g(0) = 0^2 = 0$.
Conclusion : La limite à gauche (2) est différente de la limite à droite (0). La fonction $g$ n’est donc pas continue en 0. Elle présente une discontinuité de première espèce (un « saut »).