Montrer qu’une fonction est bijective revient à prouver qu’elle est à la fois injective (chaque image a au plus un antécédent) et surjective (chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent). En analyse, on utilise rarement la définition formelle. On s’appuie plutôt sur un théorème très efficace : le théorème de la bijection.
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l’intervalle image $J = f(I)$.
Cela signifie que pour tout $y \in J$, l’équation $f(x)=y$ admet une solution unique $x \in I$.
La Stratégie en 3 Étapes
Pour montrer que $f$ établit une bijection de l’intervalle $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer, la démarche est systématique :
- Justifier la continuité : On vérifie que la fonction $f$ est bien continue sur l’intervalle $I$. Pour les fonctions usuelles, c’est souvent immédiat.
- Étudier la stricte monotonie : On calcule la dérivée $f'(x)$ et on étudie son signe sur $I$. Il faut montrer que $f'(x)$ est soit strictement positive, soit strictement négative sur $I$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle peut s’annuler).
- Déterminer l’intervalle image $J=f(I)$ : On dresse le tableau de variations de $f$ sur $I$. L’intervalle image $J$ est déterminé en calculant les valeurs ou les limites de $f$ aux bornes de $I$.
Montrons que $f$ réalise une bijection de l’intervalle $I = [1, +\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser.
- Continuité : $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et en particulier sur $[1, +\infty[$.
-
Stricte monotonie : On calcule la dérivée :
$$f'(x) = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$$
Sur l’intervalle $[1, +\infty[$, on a $x > 0$ et $x+1 > 0$. Par conséquent, $f'(x) > 0$ pour tout $x \in [1, +\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $I$. -
Intervalle image : Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $I=[1, +\infty[$, l’intervalle image $J$ est donné par :
$$ J = f(I) = \left[ f(1), \lim_{x \to +\infty} f(x) \right[ $$
Calculons les bornes :
- $f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 – 1 = 2 + 3 – 1 = 4$.
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty$.
- Conclusion : Les conditions du théorème de la bijection sont réunies. On peut donc conclure que $f$ réalise une bijection de l’intervalle $[1, +\infty[$ sur l’intervalle $[4, +\infty[$.