Avant d’étudier une fonction (limites, dérivée, variations…), la toute première étape est de déterminer son domaine de définition, noté $D_f$. C’est l’ensemble de tous les nombres réels $x$ pour lesquels l’expression $f(x)$ a un sens et peut être calculée.
Par défaut, on suppose que le domaine de définition est $\mathbb{R}$ tout entier. La méthode consiste ensuite à identifier toutes les « opérations impossibles » dans l’expression de $f(x)$ et à exclure les valeurs de $x$ qui y mèneraient.
Les trois conditions d’existence principales à vérifier sont :
- Quotient : Le dénominateur doit être différent de zéro.
- Racine carrée : L’expression sous la racine doit être supérieure ou égale à zéro.
- Logarithme népérien : L’expression dans le logarithme doit être strictement positive.
Exemple 1 : Fonction Rationnelle (Le Quotient)
Soit la fonction $f(x) = \frac{3x – 1}{x + 4}$.
La seule opération à risque est la division. On doit donc s’assurer que le dénominateur ne s’annule pas.
Condition : $x + 4 \neq 0 \iff x \neq -4$.
Le domaine de définition est donc l’ensemble de tous les réels, sauf -4.
$$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4\} \quad \text{ou} \quad D_f = ]-\infty, -4[ \cup ]-4, +\infty[$$
Exemple 2 : Fonction Racine
Soit la fonction $g(x) = \sqrt{5 – 2x}$.
Ici, l’opération à risque est la racine carrée. L’expression sous le radical doit être positive ou nulle.
Condition : $5 – 2x \ge 0 \iff 5 \ge 2x \iff \frac{5}{2} \ge x$.
Le domaine de définition est donc l’ensemble de tous les réels inférieurs ou égaux à $5/2$.
$$D_g = \left]-\infty, \frac{5}{2}\right]$$
Exemple 3 : Fonction Logarithme
Soit la fonction $h(x) = \ln(x^2 – 9)$.
Pour le logarithme népérien, l’argument doit être strictement positif.
Condition : $x^2 – 9 > 0$.
C’est une inéquation du second degré. On étudie le signe du polynôme $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Il est positif « à l’extérieur » de ses racines, qui sont -3 et 3.
Le domaine de définition est donc :
$$D_h = ]-\infty, -3[ \cup ]3, +\infty[$$
Soit la fonction $k(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-5}$.
Cette fonction cumule deux risques : une racine carrée et un quotient. Les deux conditions doivent être satisfaites simultanément.
- Condition 1 (racine) : L’expression sous la racine doit être positive ou nulle.
$x – 1 \ge 0 \iff x \ge 1$.
Cela nous donne un premier ensemble de validité : $[1, +\infty[$. - Condition 2 (quotient) : Le dénominateur doit être non nul.
$x – 5 \neq 0 \iff x \neq 5$.
Cela nous impose d’exclure la valeur 5. - Synthèse : On prend l’ensemble de la condition 1 ($[1, +\infty[$) et on lui retire la valeur 5.
Le domaine de définition final est : $$D_k = [1, 5[ \cup ]5, +\infty[$$