Trouver les extrema (maximum et minimum) globaux d’une fonction sur un intervalle est un problème d’optimisation classique. La méthode repose sur un théorème puissant qui garantit l’existence de ces extrema sous certaines conditions.
Si une fonction $f$ est continue sur un segment (intervalle fermé et borné) $[a, b]$, alors $f$ est bornée sur $[a, b]$ et atteint ses bornes.
Cela signifie qu’il existe au moins un point $c \in [a, b]$ où la fonction atteint son minimum global ($f(c) = \min_{[a,b]} f$) et au moins un point $d \in [a, b]$ où elle atteint son maximum global ($f(d) = \max_{[a,b]} f$).
La Stratégie en 4 Étapes
Pour trouver les extrema globaux d’une fonction dérivable $f$ sur un segment $[a, b]$ :
- Justifier l’existence : On vérifie que $f$ est bien continue sur le segment $[a, b]$. Le théorème des bornes atteintes garantit alors que le maximum et le minimum existent.
- Trouver les points critiques : On calcule la dérivée $f'(x)$ et on résout l’équation $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques qui se trouvent à l’intérieur de l’intervalle, c’est-à-dire dans $]a, b[$.
- Évaluer la fonction aux points candidats : Les extrema globaux se trouvent forcément parmi les points critiques ou aux bornes de l’intervalle. On dresse donc une liste de « candidats » et on calcule l’image par $f$ pour chacun d’eux :
- Les valeurs de $f$ aux bornes de l’intervalle : $f(a)$ et $f(b)$.
- Les valeurs de $f$ en chaque point critique trouvé à l’étape 2.
- Comparer et conclure :
- La plus grande valeur calculée à l’étape 3 est le maximum global de $f$ sur $[a, b]$.
- La plus petite valeur est le minimum global.
Trouver le maximum et le minimum de la fonction $f(x) = x^3 – 3x^2 + 1$ sur le segment $[-1, 3]$.
- Existence : $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ et en particulier sur $[-1, 3]$. Le théorème des bornes atteintes s’applique.
- Points critiques : On calcule la dérivée : $f'(x) = 3x^2 – 6x$.
On résout $f'(x) = 0 \iff 3x(x-2)=0$. Les solutions sont $x=0$ et $x=2$.
Ces deux points critiques sont bien dans l’intervalle $]-1, 3[$. - Évaluation des candidats :
- Aux bornes : $f(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 + 1 = -1 – 3 + 1 = -3$.
- Aux bornes : $f(3) = 3^3 – 3(3)^2 + 1 = 27 – 27 + 1 = 1$.
- Au point critique $x=0$ : $f(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 1 = 1$.
- Au point critique $x=2$ : $f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 1 = 8 – 12 + 1 = -3$.
- Conclusion : En comparant les valeurs obtenues $\{-3, 1, 1, -3\}$ :
- Le maximum global est 1, atteint en $x=0$ et $x=3$.
- Le minimum global est -3, atteint en $x=-1$ et $x=2$.