Le nombre dérivé d’une fonction $f$ en un point $a$ est un concept central en analyse. Il représente le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Géométriquement, il correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe de la fonction au point d’abscisse $a$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$.
La fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si la limite du taux d’accroissement suivant existe et est finie :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}$$
Le réel $f'(a)$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$.
Une autre écriture équivalente est : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) – f(a)}{x-a}$.
Méthode 1 : Retour à la définition (calcul de la limite)
Cette méthode consiste à appliquer directement la définition. Elle est fondamentale pour la compréhension mais moins rapide en pratique.
- Former le taux d’accroissement : On écrit l’expression $\frac{f(a+h) – f(a)}{h}$ pour le point $a$ donné.
- Simplifier l’expression : On développe et on simplifie le numérateur. En général, le terme en $h$ du dénominateur doit pouvoir se simplifier.
- Calculer la limite : On calcule la limite de l’expression simplifiée lorsque $h$ tend vers 0.
Calculer le nombre dérivé de $f(x) = x^2 – 3x$ au point $a=2$.
- Taux d’accroissement :
$\frac{f(2+h) – f(2)}{h} = \frac{[(2+h)^2 – 3(2+h)] – [2^2 – 3(2)]}{h}$ - Simplification :
$\frac{[4+4h+h^2 – 6-3h] – [4-6]}{h} = \frac{h^2+h-2 – (-2)}{h}$
$= \frac{h^2+h}{h} = \frac{h(h+1)}{h} = h+1$ (pour $h \neq 0$) - Calcul de la limite :
$\lim_{h \to 0} (h+1) = 1$.
Conclusion : La fonction $f$ est dérivable en 2 et son nombre dérivé est $f'(2)=1$. La tangente à la courbe au point d’abscisse 2 a une pente de 1.
Méthode 2 : Utiliser les formules de dérivation (plus rapide)
En pratique, on utilise plus souvent les formules de dérivation pour trouver la fonction dérivée $f'(x)$, puis on remplace $x$ par la valeur $a$.
- Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ : On utilise les formules de dérivation usuelles (dérivée d’une somme, d’un produit, de $x^n$, etc.).
- Évaluer $f'(x)$ au point $a$ : On remplace $x$ par $a$ dans l’expression de $f'(x)$ pour trouver $f'(a)$.
Calculer le nombre dérivé de $f(x) = x^2 – 3x$ au point $a=2$.
- Calcul de la fonction dérivée :
$f'(x) = (x^2)’ – (3x)’ = 2x – 3$. - Évaluation en $a=2$ :
$f'(2) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1$.
Conclusion : On retrouve bien le même résultat, $f'(2)=1$, de manière beaucoup plus directe.