Un point d’inflexion est un point d’une courbe où sa courbure change. Graphiquement, c’est le point où la courbe traverse sa propre tangente. La concavité passe de concave à convexe, ou inversement.
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable et $C_f$ sa courbe.
On dit que le point $A(x_0, f(x_0))$ est un point d’inflexion de $C_f$ si la concavité de la courbe change en ce point.
Une condition nécessaire pour cela est que la dérivée seconde s’annule : $$ \text{Si } A(x_0, f(x_0)) \text{ est un point d’inflexion, alors } f »(x_0) = 0 $$ Attention : Ce n’est pas une condition suffisante ! Il faut aussi que la dérivée seconde change de signe de part et d’autre de $x_0$.
La Stratégie en 4 Étapes
- Calculer la dérivée seconde $f »(x)$ : C’est le prérequis indispensable.
- Trouver les candidats : Résoudre l’équation $f »(x)=0$. Les solutions sont les abscisses des points d’inflexion potentiels.
- Vérifier le changement de signe : Pour chaque solution $x_0$, on étudie le signe de $f »(x)$ de part et d’autre de $x_0$ (généralement à l’aide d’un tableau de signes). Si le signe change (de + à – ou de – à +), alors c’est bien un point d’inflexion. Si le signe ne change pas, ce n’en est pas un.
- Calculer les coordonnées : Pour chaque abscisse $x_0$ validée, on calcule l’ordonnée correspondante $y_0 = f(x_0)$ pour obtenir les coordonnées complètes du point d’inflexion.
Exemple : $f(x) = \sin(x)$ sur $]-\pi, \pi[$
- $f'(x) = \cos(x)$ et $f »(x) = -\sin(x)$.
- On résout $f »(x) = 0 \iff -\sin(x)=0$. Sur $]-\pi, \pi[$, la seule solution est $x_0 = 0$.
- Signe de $f »(x) = -\sin(x)$ :
- Sur $]-\pi, 0[$, $\sin(x) < 0$ donc $f''(x) > 0$ (convexe).
- Sur $]0, \pi[$, $\sin(x) > 0$ donc $f »(x) < 0$ (concave).
- Coordonnées : $x_0=0$, $y_0 = f(0) = \sin(0) = 0$. Le point d’inflexion est l’origine $(0,0)$.
Contre-exemple : $g(x) = x^4$
- $g'(x) = 4x^3$ et $g »(x) = 12x^2$.
- On résout $g »(x) = 0 \iff 12x^2 = 0$, ce qui donne $x_0 = 0$.
- Signe de $g »(x) = 12x^2$ : Pour $x \neq 0$, $x^2$ est toujours positif. Donc $g »(x)$ est positive à gauche et à droite de 0. Elle s’annule en 0 mais ne change pas de signe.
- Conclusion : Le point d’abscisse 0 n’est pas un point d’inflexion pour la courbe de $g(x)=x^4$.