La concavité d’une fonction décrit la manière dont sa courbe est « orientée » : vers le haut ou vers le bas. Une fonction est dite convexe si sa courbe est « creuse » (tournée vers le haut) et concave si sa courbe est en forme de « bosse » (tournée vers le bas). L’outil pour déterminer cela est la dérivée seconde.
Lien entre Dérivée Seconde et Concavité
Pour une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ :
- Si $f »(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est convexe sur $I$. (La courbe est au-dessus de ses tangentes).
- Si $f »(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est concave sur $I$. (La courbe est en dessous de ses tangentes).
- Un point d’inflexion est un point où la concavité de la courbe change. Cela se produit en $x_0$ si $f »(x_0) = 0$ et que la dérivée seconde change de signe en $x_0$.
La Stratégie en 4 Étapes
- Calculer la dérivée seconde : On calcule d’abord la dérivée première $f'(x)$, puis on la dérive à nouveau pour obtenir la dérivée seconde $f »(x)$.
- Étudier le signe de $f »(x)$ : On résout $f »(x) > 0$, $f »(x) < 0$ et $f''(x) = 0$. C'est une étude de signe classique.
- Interpréter le signe et conclure sur la concavité :
- Sur les intervalles où $f »(x)>0$, la fonction est convexe.
- Sur les intervalles où $f »(x)<0$, la fonction est concave.
- Identifier les points d’inflexion : On repère les points où $f »(x)$ s’annule en changeant de signe. Pour chaque point d’abscisse $x_0$ trouvé, on calcule son ordonnée $y_0 = f(x_0)$. Le point d’inflexion a pour coordonnées $(x_0, y_0)$.
Exemple Complet
Étudier la concavité de la fonction $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 1$.
- Dérivées :
Dérivée première : $f'(x) = 3x^2 – 12x + 9$.
Dérivée seconde : $f »(x) = 6x – 12$. - Signe de $f »(x)$ : C’est une fonction affine.
$f »(x) = 0 \iff 6x – 12 = 0 \iff x = 2$.
$f »(x) > 0 \iff 6x > 12 \iff x > 2$.
$f »(x) < 0 \iff 6x < 12 \iff x < 2$. - Tableau de concavité :
$x$ $-\infty$ $2$ $+\infty$ Signe de $f »(x)$ – 0 + Concavité de $C_f$ Concave Point d’inflexion Convexe - Point d’inflexion :
La dérivée seconde s’annule et change de signe en $x_0 = 2$.
On calcule l’ordonnée : $f(2) = 2^3 – 6(2)^2 + 9(2) – 1 = 8 – 24 + 18 – 1 = 1$.
La courbe $C_f$ admet un point d’inflexion au point de coordonnées $(2, 1)$.