Le tableau de variations d’une fonction est un tableau qui résume la croissance et la décroissance de la fonction sur son domaine de définition. Il est construit à partir de l’étude du signe de la fonction dérivée.
Lien entre Dérivée et Variations
Le principe fondamental est le suivant : pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :
- Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ en un point $x_0$ et que la dérivée change de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
La Stratégie en 5 Étapes
- Déterminer le domaine de définition $D_f$ : Et calculer les limites aux bornes de ce domaine.
- Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ : Préciser son domaine de validité.
- Étudier le signe de $f'(x)$ : C’est l’étape la plus importante. On résout $f'(x) > 0$, $f'(x) < 0$ et $f'(x) = 0$. On présente souvent les résultats dans un tableau de signes.
- Dresser le tableau de variations : Il comporte généralement trois lignes :
- La première pour les valeurs de $x$ (bornes du domaine, points où la dérivée s’annule ou n’est pas définie).
- La deuxième pour le signe de $f'(x)$.
- La troisième pour les variations de $f$ (représentées par des flèches).
- Compléter le tableau : On ajoute les limites calculées à l’étape 1 et on calcule les valeurs de $f(x)$ pour chaque point où la dérivée s’annule (les extrema locaux).
Exemple Complet
Construire le tableau de variations de $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 1$.
- Domaine et limites : $D_f = \mathbb{R}$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$. - Dérivée : $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 3x^2 – 12x + 9$. - Signe de $f'(x)$ : C’est un polynôme du second degré. On cherche ses racines.
$f'(x) = 3(x^2 – 4x + 3)$.
Discriminant : $\Delta = (-4)^2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 = 2^2$.
Racines : $x_1 = \frac{4-2}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{4+2}{2} = 3$.
Le polynôme $f'(x)$ est du signe de $a=3$ (positif) à l’extérieur des racines. - Tableau de variations :
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $f'(x)$ | + | 0 | – | 0 | + | ||
| Variations de $f$ | $3$ | $-1$ | |||||
| $-\infty$ | $+\infty$ |
Calcul des extrema (Étape 5) :
$f(1) = 1^3 – 6(1)^2 + 9(1) – 1 = 1 – 6 + 9 – 1 = 3$. (Maximum local)
$f(3) = 3^3 – 6(3)^2 + 9(3) – 1 = 27 – 54 + 27 – 1 = -1$. (Minimum local)