Pour trouver le développement limité (DL) d’un produit de deux fonctions $f(x) \cdot g(x)$, il ne faut surtout pas multiplier les DL complets avec les termes $o(x^n)$. La méthode consiste à ne travailler qu’avec les parties polynomiales.
La Règle du Produit
Si les DL de $f$ et $g$ à l’ordre $n$ en 0 sont :
$f(x) = P_n(x) + o(x^n)$
$g(x) = Q_n(x) + o(x^n)$
Alors le DL du produit $f(x)g(x)$ à l’ordre $n$ est obtenu en calculant le produit des polynômes $P_n(x) \times Q_n(x)$ et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$. C’est ce qu’on appelle la troncature du polynôme produit.
La Stratégie en 4 Étapes
- Écrire les DL usuels : On écrit les DL de $f$ et $g$ à l’ordre $n$ requis.
- Multiplier les parties polynomiales : On effectue la multiplication des deux polynômes, en distribuant chaque terme.
- Tronquer le résultat : On ignore (on « jette ») tous les termes dont le degré est strictement supérieur à $n$.
- Regrouper et conclure : On regroupe les termes restants par puissance de $x$ et on ajoute le terme $o(x^n)$.
Exemple : DL de $h(x) = e^x \ln(1+x)$ à l’ordre 3 en 0
- DL des fonctions usuelles à l’ordre 3 :
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
- $\ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
- Multiplication des polynômes :
$\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) \times \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right)$
On distribue méthodiquement :
$= 1 \cdot \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) \quad$ (termes de degré 1, 2, 3)
$+ x \cdot \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) \quad$ (termes de degré 2, 3, 4)
$+ \frac{x^2}{2} \cdot \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) \quad$ (termes de degré 3, 4, 5)
$+ \frac{x^3}{6} \cdot \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) \quad$ (termes de degré 4, 5, 6) - Troncature à l’ordre 3 : On ne garde que les termes de degré $\le 3$.
$= \left(x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) + \left(x^2 – \frac{x^3}{2}\right) + \left(\frac{x^3}{2}\right) + \dots$ - Regroupement et conclusion :
Termes en $x$ : $x$
Termes en $x^2$ : $-\frac{x^2}{2} + x^2 = \frac{1}{2}x^2$
Termes en $x^3$ : $\frac{x^3}{3} – \frac{x^3}{2} + \frac{x^3}{2} = \frac{1}{3}x^3$
Le DL est donc : $$h(x) = x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$$