Soit $E$ un K-espace vectoriel sur un corps commutatif $K$.
a) Une application $f: E \times E \to K$ est une forme bilinéaire sur $E$ si elle est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables. Autrement dit :
- Pour tout $y \in E$ fixé, l’application $x \mapsto f(x,y)$ est une forme linéaire sur $E$.
- Pour tout $x \in E$ fixé, l’application $y \mapsto f(x,y)$ est une forme linéaire sur $E$.
b) Une forme bilinéaire $f$ est dite symétrique si $\forall x, y \in E, f(y,x) = f(x,y)$.
c) Une forme bilinéaire $f$ est dite antisymétrique si $\forall x, y \in E, f(y,x) = -f(x,y)$.
Remarque
- Si $f$ est une forme bilinéaire, on a l’identité $f(x+y, x+y) = f(x,x) + f(x,y) + f(y,x) + f(y,y)$.
- Si $f$ est symétrique, cette identité devient $f(x+y, x+y) = f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y)$.
- Si $f$ est antisymétrique, alors pour tout $x \in E$, $f(x,x)=0$ (à condition que la caractéristique du corps soit différente de 2).
Notations
On désigne par $\mathcal{L}_2(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires sur $E$, par $S_2(E)$ l’ensemble des formes bilinéaires symétriques, et par $A_2(E)$ celui des formes bilinéaires antisymétriques.
Soit $E$ un K-espace vectoriel.
- $\mathcal{L}_2(E)$ est un K-espace vectoriel.
- Si la caractéristique du corps $K$ est différente de 2, alors $\mathcal{L}_2(E)$ est la somme directe de l’espace des formes symétriques et de celui des formes antisymétriques : $$ \mathcal{L}_2(E) = S_2(E) \oplus A_2(E) $$
Démonstration
i) $\mathcal{L}_2(E)$ est un sous-espace vectoriel de l’espace de toutes les applications de $E \times E$ dans $K$, car la somme de deux formes bilinéaires et le produit d’une forme bilinéaire par un scalaire restent des formes bilinéaires.
ii) Supposons que la caractéristique de $K$ est différente de 2. Soit $f \in S_2(E) \cap A_2(E)$. Alors $f(x,y) = f(y,x)$ et $f(x,y) = -f(y,x)$, ce qui implique $2f(x,y)=0$. Comme $2 \neq 0$ dans $K$, on a $f(x,y)=0$ pour tous $x,y$. Donc $S_2(E) \cap A_2(E) = \{0\}$.
De plus, pour toute forme bilinéaire $f$, on peut écrire $f = g+h$ avec : $$ g(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} \quad \text{et} \quad h(x,y) = \frac{f(x,y) – f(y,x)}{2} $$ On vérifie aisément que $g$ est symétrique ($g \in S_2(E)$) et que $h$ est antisymétrique ($h \in A_2(E)$). Cela montre que $\mathcal{L}_2(E) = S_2(E) + A_2(E)$. L’intersection étant nulle, la somme est directe.