Soit $E$ un K-espace vectoriel. Une application $q: E \to K$ est une forme quadratique sur $E$ s’il existe une forme bilinéaire $f$ sur $E$ telle que : $$ \forall x \in E, \quad q(x) = f(x,x) $$
Exemple
Si $f$ est une forme bilinéaire symétrique sur $E$, alors l’application $q$ définie par $q(x) = f(x,x)$ est une forme quadratique, appelée la forme quadratique associée à $f$. La proposition suivante montre que cette association est en fait une bijection.
Soit $q$ une forme quadratique sur un K-espace vectoriel $E$ (avec K de caractéristique différente de 2). Il existe une unique forme bilinéaire symétrique $f$ sur $E$ telle que $q(x) = f(x,x)$ pour tout $x \in E$.
Cette forme $f$, appelée la forme polaire associée à $q$, est donnée par l’identité de polarisation : $$ \forall x,y \in E, \quad f(x,y) = \frac{1}{2} (q(x+y) – q(x) – q(y)) $$
Démonstration
Existence : Par définition de $q$, il existe une forme bilinéaire $g$ (pas nécessairement symétrique) telle que $q(x)=g(x,x)$. Définissons une nouvelle application $f(x,y) = \frac{g(x,y) + g(y,x)}{2}$. L’application $f$ est clairement une forme bilinéaire symétrique. De plus, $f(x,x) = \frac{g(x,x) + g(x,x)}{2} = g(x,x) = q(x)$. Une telle forme symétrique existe donc.
Unicité : Supposons que $f$ est une forme bilinéaire symétrique telle que $q(x)=f(x,x)$. On a alors : $$ q(x+y) = f(x+y, x+y) = f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y) = q(x) + 2f(x,y) + q(y) $$ En isolant $f(x,y)$, on obtient : $$ f(x,y) = \frac{1}{2} (q(x+y) – q(x) – q(y)) $$ Cette relation montre que la forme $f$ est entièrement déterminée par $q$, ce qui prouve son unicité.