Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(v_1, v_2, \dots, v_n)$ une base quelconque de $E$. Il existe une unique base orthonormale $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ de $E$ qui satisfait les deux conditions suivantes :
- Pour tout entier $j \in \{1, \dots, n\}$, les sous-espaces engendrés par les $j$ premiers vecteurs des deux bases coïncident : $$ Vect(e_1, \dots, e_j) = Vect(v_1, \dots, v_j) $$
- Pour tout entier $j \in \{1, \dots, n\}$, le produit scalaire $\langle v_j, e_j \rangle$ est strictement positif.
Démonstration
La démonstration est constructive. On construit les vecteurs $e_j$ par récurrence.
Étape 1 : On initialise en posant $e’_1 = v_1$. On normalise ensuite ce vecteur : $e_1 = \frac{e’_1}{\|e’_1\|}$.
Étape j (pour j > 1) : Supposons que nous avons construit une famille orthonormale $(e_1, \dots, e_{j-1})$ telle que $Vect(e_1, \dots, e_{j-1}) = Vect(v_1, \dots, v_{j-1})$. On définit un vecteur auxiliaire $e’_j$ en soustrayant de $v_j$ sa projection orthogonale sur le sous-espace déjà construit : $$ e’_j = v_j – \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_j, e_i \rangle e_i $$ Par construction, $e’_j$ est orthogonal à tous les $e_i$ pour $i < j$. De plus, $e'_j$ est non nul, car sinon $v_j$ serait dans $Vect(e_1, \dots, e_{j-1}) = Vect(v_1, \dots, v_{j-1})$, ce qui contredirait le fait que la famille $(v_k)$ est libre.
On normalise alors $e’_j$ pour obtenir le j-ième vecteur de notre base : $$ e_j = \frac{e’_j}{\|e’_j\|} $$ La famille $(e_1, \dots, e_j)$ est orthonormale par construction. La condition $\langle v_j, e_j \rangle > 0$ est également satisfaite, car $\langle v_j, e_j \rangle = \frac{1}{\|e’_j\|} \langle v_j, e’_j \rangle = \frac{1}{\|e’_j\|} \|e’_j\|^2 = \|e’_j\| > 0$. L’unicité découle du caractère unique de chaque étape de construction.
Remarque
Le procédé de Gram-Schmidt montre que la matrice de passage $P$ de la base orthonormale $(e_i)$ à la base initiale $(v_j)$ est une matrice triangulaire supérieure. En effet, la relation de construction montre que chaque $v_j$ est une combinaison linéaire de $(e_1, \dots, e_j)$. Les coefficients diagonaux de cette matrice, $p_{jj} = \langle v_j, e_j \rangle$, sont tous strictement positifs.
Soit $E$ un espace euclidien orienté de dimension $n$ et $(v_1, \dots, v_n)$ un système de vecteurs de $E$. Alors, la valeur absolue du déterminant de ce système est inférieure ou égale au produit des normes de ses vecteurs : $$ |\det(v_1, v_2, \dots, v_n)| \le \prod_{i=1}^n \|v_i\| $$
Démonstration
Si le système est lié, son déterminant est nul et l’inégalité est trivialement vérifiée.
Si le système est libre, c’est une base. Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base orthonormale obtenue par le procédé de Gram-Schmidt à partir de $(v_1, \dots, v_n)$. Le déterminant de la famille $(v_i)$ dans la base $(e_i)$ est le déterminant de la matrice de passage $P$ de $(e_i)$ à $(v_i)$. Comme vu précédemment, cette matrice est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont $p_{jj} = \langle v_j, e_j \rangle$.
On a donc $|\det(v_1, \dots, v_n)| = |\det(P)| = \prod_{j=1}^n |p_{jj}| = \prod_{j=1}^n |\langle v_j, e_j \rangle|$.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, $|\langle v_j, e_j \rangle| \le \|v_j\| \|e_j\|$. Comme $\|e_j\|=1$, on a $|\langle v_j, e_j \rangle| \le \|v_j\|$. En multipliant ces inégalités pour $j$ de 1 à $n$, on obtient le résultat souhaité.