Soit $E$ un espace euclidien. Pour toute forme linéaire $\varphi$ sur $E$, il existe un unique vecteur $y \in E$ tel que, pour tout vecteur $x \in E$, l’évaluation de la forme linéaire soit égale au produit scalaire avec ce vecteur : $$ \forall x \in E, \quad \varphi(x) = \langle x, y \rangle $$ Ce résultat établit un isomorphisme canonique entre un espace euclidien et son dual.
Démonstration
Le produit scalaire sur $E$ est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée. On peut donc lui associer une application linéaire $\Phi: E \to E^*$ définie par $\Phi(y) = \varphi_y$, où $\varphi_y(x) = \langle x, y \rangle$.
Le fait que le produit scalaire soit non dégénéré signifie précisément que cette application $\Phi$ est injective. Comme $E$ est de dimension finie, son espace dual $E^*$ a la même dimension. Une application linéaire injective entre deux espaces de même dimension finie est nécessairement un isomorphisme.
Puisque $\Phi$ est un isomorphisme, elle est surjective. Par conséquent, pour toute forme linéaire $\varphi \in E^*$, il existe un antécédent $y \in E$ tel que $\Phi(y) = \varphi$. Cet antécédent est unique car $\Phi$ est injective. Par définition de $\Phi$, cela signifie qu’il existe un unique $y \in E$ tel que pour tout $x \in E$, $\langle x, y \rangle = \varphi(x)$.