Pour chacune des formes quadratiques $q$ sur $\mathbb{R}^3$ ci-dessous, déterminer les valeurs du paramètre réel $a$ pour lesquelles $q$ définit un produit scalaire.
a) $q(x) = x_1y_1 + x_2y_2 + (a+12)x_3^2 – 6x_1x_3 + 4x_2x_3$.
b) $q(x) = x_1^2 + (a+5)x_2^2 + (a^2+a+2)x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2(a+3)x_2x_3$.
Une forme quadratique définit un produit scalaire si et seulement si sa signature est $(n,0)$, ici $(3,0)$. On utilise la méthode de Gauss pour réduire chaque forme en carrés et discuter le signe des coefficients.
a) Après réduction, on obtient une signature de $(3,0)$ si et seulement si $a > 1$.
b) La réduction de Gauss mène à des coefficients $(1, a+1, a^2)$. Pour que la signature soit $(3,0)$, il faut que tous soient strictement positifs, ce qui impose $a+1 > 0$ et $a \neq 0$. La condition est donc $a \in ]-1, 0[ \cup ]0, +\infty[$.
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d’un espace euclidien $E$. Montrer que $(F+G)^\perp = F^\perp \cap G^\perp$ et $(F \cap G)^\perp = F^\perp + G^\perp$.
La première égalité est une propriété générale de l’orthogonalité. Pour la seconde, on utilise la première égalité et le fait que dans un espace euclidien, $(H^\perp)^\perp = H$. On a : $F^\perp + G^\perp = ((F^\perp+G^\perp)^\perp)^\perp$. En utilisant la première propriété sur les orthogonaux, on a $(F^\perp+G^\perp)^\perp = (F^\perp)^\perp \cap (G^\perp)^\perp = F \cap G$. Donc, $F^\perp + G^\perp = (F \cap G)^\perp$.
Soient $x, y$ deux vecteurs d’un espace préhilbertien réel $E$. Montrer que $\langle x,y \rangle = 0 \iff \forall \lambda \in \mathbb{R}, \|x+\lambda y\| \ge \|x\| $.
On développe le carré de la norme : $\|x+\lambda y\|^2 = \|x\|^2 + 2\lambda\langle x,y \rangle + \lambda^2\|y\|^2$.
($\implies$) Si $\langle x,y \rangle = 0$, l’expression devient $\|x\|^2 + \lambda^2\|y\|^2$, qui est clairement supérieure ou égale à $\|x\|^2$.
($\impliedby$) Si $\|x+\lambda y\|^2 \ge \|x\|^2$ pour tout $\lambda$, alors le polynôme en $\lambda$, $P(\lambda) = \lambda^2\|y\|^2 + 2\lambda\langle x,y \rangle$, est toujours positif. S’il n’est pas identiquement nul, son minimum est atteint en $\lambda_0 = -\frac{\langle x,y \rangle}{\|y\|^2}$. La valeur en ce point doit être positive, ce qui implique que son discriminant $4(\langle x,y \rangle)^2$ doit être négatif ou nul. La seule possibilité est $\langle x,y \rangle = 0$.
Soient $u, v, w$ trois vecteurs d’un espace euclidien orienté de dimension 3. Montrer que :
- $u \land (v \land w) = \langle u,w \rangle v – \langle u,v \rangle w$.
- $\det(u \land v, v \land w, w \land u) = (\det(u,v,w))^2$.
- $u \land (v \land w) + w \land (u \land v) + v \land (w \land u) = 0$ (Identité de Jacobi).
1. On peut vérifier la formule en choisissant une base orthonormale directe bien adaptée. Si $(v,w)$ est liée, les deux membres sont nuls. Sinon, on choisit $e_1 = v/\|v\|$ et $e_2$ dans $Vect(v,w)$ tel que $(e_1, e_2)$ soit orthonormale. On complète en une base $(e_1, e_2, e_3)$. On décompose $u$ dans cette base et on vérifie l’égalité par calcul direct.
2. On utilise la formule du produit mixte : $\det(A,B,C) = \langle A, B \land C \rangle$. On a donc $\det(u \land v, v \land w, w \land u) = \langle u \land v, (v \land w) \land (w \land u) \rangle$. En utilisant la formule du double produit vectoriel pour le terme de droite, on trouve $\det(v,w,u)w = \det(u,v,w)w$. Le produit scalaire devient $\langle u \land v, \det(u,v,w)w \rangle = \det(u,v,w) \langle u \land v, w \rangle = (\det(u,v,w))^2$.
3. C’est une conséquence directe de la formule du double produit vectoriel. On développe chaque terme et on constate que les termes s’annulent deux à deux.
Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace normé dont la norme vérifie l’identité du parallélogramme. Montrer que la norme dérive d’un produit scalaire défini par $f(x,y) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 – \|x-y\|^2)$.
Il faut montrer que l’application $f$ ainsi définie est une forme bilinéaire symétrique définie positive. La symétrie et le fait que $f(x,x)=\|x\|^2$ sont immédiats. La difficulté est de prouver la linéarité. On montre d’abord l’additivité $f(x_1+x_2, y) = f(x_1,y)+f(x_2,y)$ en utilisant plusieurs fois l’identité du parallélogramme. Ensuite, on en déduit la propriété pour les scalaires rationnels. Finalement, on utilise la continuité de la norme pour étendre la propriété aux scalaires réels.