Soit $E$ un espace euclidien. Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, il existe un unique endomorphisme $v$ de $E$ qui satisfait la relation suivante pour tous vecteurs $x, y \in E$ : $$ \langle u(x), y \rangle = \langle x, v(y) \rangle $$ Cet endomorphisme unique $v$ est appelé l’adjoint de $u$ et est noté $u^*$.
Démonstration
Pour un vecteur $y \in E$ fixé, considérons l’application $\varphi_y: E \to \mathbb{R}$ définie par $\varphi_y(x) = \langle u(x), y \rangle$. C’est une forme linéaire sur $E$. D’après le théorème de représentation de Riesz, il existe un unique vecteur dans $E$, que nous noterons $z_y$, tel que $\varphi_y(x) = \langle x, z_y \rangle$ pour tout $x$.
On définit alors l’application $v: E \to E$ par $v(y) = z_y$. On montre que $v$ est linéaire. Soient $y_1, y_2 \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Pour tout $x \in E$, on a : $$ \langle x, v(\lambda y_1 + y_2) \rangle = \langle u(x), \lambda y_1 + y_2 \rangle = \lambda \langle u(x), y_1 \rangle + \langle u(x), y_2 \rangle $$ $$ = \lambda \langle x, v(y_1) \rangle + \langle x, v(y_2) \rangle = \langle x, \lambda v(y_1) + v(y_2) \rangle $$ Par unicité du vecteur représentant, on a $v(\lambda y_1 + y_2) = \lambda v(y_1) + v(y_2)$. Donc $v$ est un endomorphisme. L’unicité de $v$ découle de l’unicité du représentant de Riesz pour chaque forme linéaire.
Soit $E$ un espace euclidien. L’application $u \mapsto u^*$ possède les propriétés suivantes :
- $(u^*)^* = u$ (involution).
- $(u+v)^* = u^* + v^*$ (additivité).
- $(\lambda u)^* = \lambda u^*$ (homogénéité).
- $(v \circ u)^* = u^* \circ v^*$ (anti-morphisme pour la composition).
- Si $\beta$ est une base orthonormale de $E$ et $A = Mat(u, \beta)$, alors $Mat(u^*, \beta) = {}^tA$.
Démonstration
Les points i) à iv) se démontrent en appliquant la définition de l’adjoint et l’unicité. Par exemple, pour iv) :
$\langle (v \circ u)(x), y \rangle = \langle v(u(x)), y \rangle = \langle u(x), v^*(y) \rangle = \langle x, u^*(v^*(y)) \rangle = \langle x, (u^* \circ v^*)(y) \rangle$. Par unicité, $(v \circ u)^* = u^* \circ v^*$.
Pour v), soit $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormale. Soit $A=(a_{ij})$ la matrice de $u$ et $B=(b_{ij})$ la matrice de $u^*$. On a $a_{ij} = \langle u(e_j), e_i \rangle$ et $b_{ij} = \langle u^*(e_j), e_i \rangle$. Alors :
$b_{ji} = \langle u^*(e_i), e_j \rangle = \langle e_i, u(e_j) \rangle = a_{ij}$. Donc $B = {}^tA$.
Soit $u$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$.
- $Ker(u^*) = (Im(u))^\perp$.
- $Im(u^*) = (Ker(u))^\perp$.
- Si un sous-espace $F$ est stable par $u$, alors son orthogonal $F^\perp$ est stable par $u^*$.
Démonstration
i) Soit $y \in E$. On a les équivalences :
$y \in Ker(u^*) \iff u^*(y)=0 \iff \forall x \in E, \langle u^*(y), x \rangle = 0 \iff \forall x \in E, \langle y, u(x) \rangle = 0 \iff y \in (Im(u))^\perp$.
ii) On applique le résultat précédent à $u^*$ : $Ker((u^*)^*) = (Im(u^*))^\perp$. Comme $(u^*)^*=u$, on a $Ker(u) = (Im(u^*))^\perp$. En prenant l’orthogonal des deux côtés et en utilisant le fait que $(H^\perp)^\perp=H$ en dimension finie, on obtient $(Ker(u))^\perp = Im(u^*)$.
iii) Soit $F$ un sous-espace stable par $u$, c’est-à-dire $u(F) \subseteq F$. Soit $y \in F^\perp$. On veut montrer que $u^*(y) \in F^\perp$. Pour cela, il faut montrer que pour tout $x \in F$, $\langle u^*(y), x \rangle = 0$. On a $\langle u^*(y), x \rangle = \langle y, u(x) \rangle$. Comme $x \in F$ et que $F$ est stable par $u$, on a $u(x) \in F$. Puisque $y \in F^\perp$, le produit scalaire $\langle y, u(x) \rangle$ est nul. Donc $u^*(y) \in F^\perp$.