Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$.
- On dit que $u$ est symétrique (ou autoadjoint) s’il est égal à son propre adjoint : $u^* = u$.
- On dit que $u$ est antisymétrique si son adjoint est son opposé : $u^* = -u$.
Remarque
- Si $\beta$ est une base orthonormale de $E$ et $A$ est la matrice de $u$ dans cette base, alors :
- $u$ est symétrique $\iff A$ est une matrice symétrique (${}^tA = A$).
- $u$ est antisymétrique $\iff A$ est une matrice antisymétrique (${}^tA = -A$).
- Si $u$ est symétrique, on a $Ker(u) = Ker(u^*) = (Im(u))^\perp$.
Exemples
- Toute projection orthogonale est un endomorphisme symétrique.
- Toute symétrie orthogonale est un endomorphisme symétrique.
- Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, l’endomorphisme $x \mapsto a \land x$ (produit vectoriel par un vecteur $a$ fixé) est antisymétrique.
Toutes les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle sont réelles.
Démonstration
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Considérons-la comme une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $A$ et $X \in \mathbb{C}^n$ un vecteur propre associé non nul. On a $AX = \lambda X$. En prenant le conjugué de cette équation, on obtient $\overline{A}\overline{X} = \overline{\lambda}\overline{X}$. Comme $A$ est à coefficients réels, $\overline{A}=A$, donc $A\overline{X} = \overline{\lambda}\overline{X}$.
Calculons la quantité ${}^t\overline{X}AX$. D’une part, ${}^t\overline{X}(AX) = {}^t\overline{X}(\lambda X) = \lambda({}^t\overline{X}X)$. D’autre part, en utilisant la symétrie de $A$ (${}^tA=A$), on a ${}^t\overline{X}AX = {}^t(A\overline{X})X = {}^t(\overline{\lambda}\overline{X})X = \overline{\lambda}({}^t\overline{X}X)$.
On a donc $\lambda({}^t\overline{X}X) = \overline{\lambda}({}^t\overline{X}X)$. Comme $X$ est non nul, ${}^t\overline{X}X = \sum |x_i|^2$ est un réel strictement positif. On peut donc simplifier pour obtenir $\lambda = \overline{\lambda}$, ce qui prouve que $\lambda$ est un nombre réel.
Remarque
Une conséquence directe de ce lemme est que le polynôme caractéristique d’un endomorphisme symétrique sur un espace euclidien est toujours scindé sur $\mathbb{R}$.
Soit $u$ un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien $E$. Si un sous-espace vectoriel $F$ est stable par $u$, alors son supplémentaire orthogonal $F^\perp$ est également stable par $u$.
Démonstration
On sait que si $F$ est stable par $u$, alors $F^\perp$ est stable par son adjoint $u^*$. Mais comme $u$ est symétrique, $u^*=u$. Par conséquent, $F^\perp$ est stable par $u$.