Définition et exemples
Définition : Produit Scalaire Hermitien
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.
- Une forme hermitienne $f$ est dite positive si $\forall x \in E, f(x,x) \ge 0$.
- Une forme hermitienne $f$ est dite définie positive si elle est positive et si $f(x,x) = 0 \implies x=0$.
- Un produit scalaire hermitien sur $E$ est une forme hermitienne définie positive.
- Un $\mathbb{C}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire hermitien est un espace préhilbertien complexe.
- Un espace préhilbertien complexe de dimension finie est appelé un espace hermitien.
Remarque
Tout produit scalaire hermitien est non dégénéré. En effet, si $f(x,y)=0$ pour tout $x$, alors en particulier $f(y,y)=0$, ce qui implique $y=0$ car la forme est définie positive.
Exemples
- Le produit scalaire hermitien usuel sur $\mathbb{C}^n$, défini par $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{x_i} y_i$, en fait un espace hermitien.
- Sur l’espace des matrices carrées complexes $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, l’application $(A,B) \mapsto tr(A^*B)$ définit un produit scalaire hermitien.
- L’espace $l^2(\mathbb{C})$ des suites complexes de carré sommable est un espace préhilbertien pour le produit scalaire $\langle (x_n), (y_n) \rangle = \sum_{n=0}^\infty \overline{x_n} y_n$.
- L’espace $C([a,b], \mathbb{C})$ des fonctions continues à valeurs complexes sur un segment est un espace préhilbertien pour le produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(t)}g(t)dt$.
Notations et règles de calcul
Notations et Règles de Calcul
Soit $E$ un espace préhilbertien complexe. On note le produit scalaire hermitien $\langle x, y \rangle$. La quantité $\langle x, x \rangle$ est toujours un réel positif. On définit la norme hermitienne par $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$.
On a les identités remarquables suivantes :
- $\forall x, y \in E, \quad \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2Re(\langle x, y \rangle) + \|y\|^2$
- $\forall x, y \in E, \quad \|x-y\|^2 = \|x\|^2 – 2Re(\langle x, y \rangle) + \|y\|^2$
- Identité du parallélogramme : $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$
- Identité de polarisation : $\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 – \|x-y\|^2 + i\|x-iy\|^2 – i\|x+iy\|^2)$
Utilisation des bases orthonormales
Proposition : Calculs dans une Base Orthonormale
Soit $E$ un espace hermitien de dimension $n$, muni d’une base orthonormale $(e_1, \dots, e_n)$.
- Coordonnées d’un vecteur : $x = \sum_{i=1}^n \langle e_i, x \rangle e_i$.
- Produit scalaire : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle e_i, x \rangle} \langle e_i, y \rangle$.
- Norme d’un vecteur : $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n |\langle e_i, x \rangle|^2$.