Un vecteur $x$ d’un K-espace vectoriel $E$ est une combinaison linéaire des éléments d’un sous-ensemble non vide $A \subset E$ s’il peut être exprimé comme une somme finie de la forme : $$ x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i $$ où les $x_i$ sont des vecteurs de $A$ et les $\alpha_i$ sont des scalaires de $K$.
On dit qu’une partie $A$ de $E$ est une partie génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’éléments de $A$.
Pour toute partie non vide $A$ d’un K-espace vectoriel $E$, l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires d’éléments de $A$ forme un sous-espace vectoriel de $E$. On l’appelle le sous-espace vectoriel engendré par $A$ et on le note $Vect(A)$.
Démonstration
Soient $x, y \in Vect(A)$. Par définition, il existe des vecteurs $x_i \in A$ et $y_j \in A$ et des scalaires $\alpha_i, \beta_j \in K$ tels que $x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$ et $y = \sum_{j=1}^{m} \beta_j y_j$. Leur somme $x+y$ est une somme finie de vecteurs de $A$ multipliés par des scalaires, c’est donc encore une combinaison linéaire d’éléments de $A$. De même, pour $\lambda \in K$, $\lambda \cdot x = \sum_{i=1}^{n} (\lambda\alpha_i) x_i$ est aussi une combinaison linéaire d’éléments de $A$. L’ensemble $Vect(A)$ est donc stable par addition et par multiplication par un scalaire. Comme il n’est pas vide (car $A$ est non vide), c’est un sous-espace vectoriel.
Remarques
- On peut vérifier que $Vect(A)$ coïncide avec l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de $E$ qui contiennent $A$. C’est donc le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace vectoriel contenant $A$.
- Par convention, on définit le sous-espace engendré par l’ensemble vide comme étant l’espace nul : $Vect(\emptyset) = \{0_E\}$. Cela correspond à l’idée qu’une somme indexée par un ensemble vide est nulle.
Exemples de Parties Génératrices
- Dans $K^n$, la famille des vecteurs $e_1=(1,0,\dots,0), e_2=(0,1,\dots,0), \dots, e_n=(0,\dots,0,1)$ est une partie génératrice.
- Dans $K[X]$, l’ensemble infini des monômes $\{1, X, X^2, \dots, X^n, \dots\}$ est une partie génératrice.
- Dans $K_n[X]$, l’ensemble fini $\{1, X, X^2, \dots, X^n\}$ est une partie génératrice.
Une partie $L$ d’un K-espace vectoriel $E$ est dite libre (ou linéairement indépendante) si la seule combinaison linéaire de ses vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les scalaires sont nuls.
- Si $L = \{x_1, \dots, x_n\}$ est finie, elle est libre si : $$ \alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_n x_n = 0 \implies \alpha_1 = \dots = \alpha_n = 0 $$
- Si $L$ est infinie, elle est dite libre si toutes ses sous-parties finies sont libres.
Une partie qui n’est pas libre est dite liée (ou linéairement dépendante).
Exemples de Parties Libres
- Toute partie contenant le vecteur nul est liée.
- Par convention, l’ensemble vide $\emptyset$ est une partie libre.
- Pour tout vecteur non nul $x$, la partie $\{x\}$ est libre.
- La famille $\{e_1, \dots, e_n\}$ est une partie libre de $K^n$.
- L’ensemble $\{1, X, \dots, X^n\}$ est une partie libre de $K_n[X]$.
Une partie $B$ d’un K-espace vectoriel $E$ est une base de $E$ si elle est à la fois une partie libre et une partie génératrice de $E$.
Remarques
- Strictement parlant, une base est une famille ordonnée $(x_i)_{i \in I}$ d’éléments de $E$ telle que l’ensemble $\{x_i : i \in I\}$ soit libre et générateur.
- Si un ensemble $B$ forme une base, le nombre de bases distinctes que l’on peut former en réordonnant ses éléments est égal au nombre de permutations de $B$. Par exemple, si $B=\{x_1, x_2, x_3\}$, alors $(x_1, x_2, x_3)$ et $(x_2, x_1, x_3)$ sont deux bases différentes.
Soit $L$ une partie libre d’un K-espace vectoriel $E$ et $x$ un vecteur de $E$. Alors, la partie $L \cup \{x\}$ est libre si et seulement si $x$ n’appartient pas au sous-espace engendré par $L$ ($x \notin Vect(L)$).
Démonstration
Il est équivalent de montrer par contraposée que $x \in Vect(L) \iff L \cup \{x\}$ est liée.
($\impliedby$) Supposons que $L \cup \{x\}$ est liée. Il existe alors une combinaison linéaire nulle $\sum \alpha_i y_i = 0$ avec des scalaires $\alpha_i$ non tous nuls et des vecteurs $y_i \in L \cup \{x\}$. Puisque $L$ est libre, l’un des $y_i$ doit être égal à $x$, et son coefficient $\alpha_i$ doit être non nul. On peut alors isoler $x$ et l’exprimer comme une combinaison linéaire des autres vecteurs, qui sont tous dans $L$. Donc, $x \in Vect(L)$.
($\implies$) Le sens direct est trivial.
Soit $B$ une partie d’un K-espace vectoriel $E$. Les affirmations suivantes sont équivalentes :
- $B$ est une base de $E$.
- $B$ est une partie génératrice minimale de $E$ (si on enlève un vecteur, elle n’est plus génératrice).
- $B$ est une partie libre maximale de $E$ (si on ajoute un vecteur, elle n’est plus libre).
Démonstration
(i $\implies$ ii) Si $B$ est une base, elle est génératrice. Si elle n’était pas minimale, on pourrait retirer un vecteur $x$ et la partie $B \setminus \{x\}$ serait encore génératrice. $x$ serait alors une combinaison linéaire des autres éléments de $B$, ce qui contredirait le fait que $B$ est libre.
(ii $\implies$ iii) Si $B$ est génératrice minimale, on montre d’abord qu’elle est libre. Si elle était liée, un de ses vecteurs $x$ serait combinaison linéaire des autres, et on pourrait le retirer sans changer le sous-espace engendré, contredisant la minimalité. Ensuite, on montre qu’elle est maximale. Si on ajoute un vecteur $x \notin B$, comme $B$ est génératrice, $x$ est une combinaison linéaire d’éléments de $B$, donc $B \cup \{x\}$ est liée.
(iii $\implies$ i) Si $B$ est libre maximale, il suffit de montrer qu’elle est génératrice. Si elle ne l’était pas, il existerait un vecteur $x \notin Vect(B)$. D’après le lemme, $B \cup \{x\}$ serait libre, ce qui contredirait la maximalité de $B$.
Remarque
Le théorème précédent, combiné au lemme de Zorn, permet de démontrer un résultat fondamental : tout espace vectoriel (même de dimension infinie) admet au moins une base.