Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $V$ d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ est continue en $x_0$ si elle admet une limite finie en ce point et si cette limite est égale à la valeur de la fonction en ce point : $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$ Ce qui se traduit formellement par : $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } (\forall x \in V, |x-x_0| < \delta) \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $$
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l’on peut tracer son graphe « sans lever le crayon », c’est-à-dire si sa courbe ne présente aucun saut.
Exemple
La fonction $f(x) = x^n$ (pour $n \in \mathbb{N}$) est continue sur tout $\mathbb{R}$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a,b]$.
- On dit que $f$ est continue à droite en $a$ si : $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
- On dit que $f$ est continue à gauche en $b$ si : $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
Exemple
La fonction $f$ définie par $f(x) = x-1$ si $x \ge 1$ et $f(x) = 2x$ si $x < 1$ est continue à droite en 1 (car $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 = f(1)$), mais n'est pas continue à gauche en 1 (car $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \neq f(1)$).
Remarques
- Une fonction $f$ est continue en un point si et seulement si elle est continue à la fois à droite et à gauche en ce point.
- Une fonction qui n’est pas continue en un point $a$ est dite discontinue en ce point. Pour cela, il faut que la fonction soit définie en $a$, mais que sa limite en $a$ soit différente de $f(a)$ ou n’existe pas.