Générateurs d’un Groupe Cyclique
Un groupe cyclique est entièrement défini par un seul de ses éléments, appelé générateur. Cependant, un même groupe cyclique peut posséder plusieurs générateurs. Savoir les identifier est une compétence clé en théorie des groupes.
Soit $(G, \star)$ un groupe cyclique. Un élément $a \in G$ est un générateur de $G$ si tout élément de $G$ peut être exprimé comme une puissance de $a$. On note alors $G = \langle a \rangle$.
Un groupe cyclique infini est isomorphe à $(\mathbb{Z}, +)$.
Il n’admet que deux générateurs : 1 et son symétrique -1.
Soit $G = \langle a \rangle$ un groupe cyclique d’ordre $n$. Les générateurs de $G$ sont les éléments de la forme $a^k$ où $k$ est un entier premier avec $n$ et $1 \le k < n$.
Le nombre de générateurs d’un groupe cyclique d’ordre $n$ est donc égal au nombre d’entiers premiers avec $n$ et compris entre 1 et $n-1$. Ce nombre est donné par l’indicatrice d’Euler, notée $\phi(n)$.
Exemples
-
Le groupe $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}, +)$ : C’est un groupe cyclique d’ordre 10. Les générateurs sont les classes $\bar{k}$ où $k$ est premier avec 10.
Les entiers premiers avec 10 et inférieurs à 10 sont 1, 3, 7, 9.
Il y a donc $\phi(10) = 4$ générateurs : $\bar{1}, \bar{3}, \bar{7}, \bar{9}$. -
Le groupe $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, +)$ : C’est un groupe cyclique d’ordre 7. Comme 7 est un nombre premier, tous les entiers de 1 à 6 sont premiers avec 7.
Il y a donc $\phi(7) = 6$ générateurs : $\bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}$. Tout élément non nul est un générateur.