Propriétés des Morphismes de Groupes
Un morphisme de groupes, en respectant la loi de composition, préserve en fait l’ensemble de la structure de groupe. Cela signifie qu’il se comporte bien avec les éléments neutres, les symétriques, et même avec les sous-groupes.
Soit $f: (G, \star) \to (H, \bullet)$ un morphisme de groupes.
- L’image de l’élément neutre de $G$ est l’élément neutre de $H$ : $f(e_G) = e_H$.
- L’image du symétrique d’un élément est le symétrique de son image : $f(x’) = (f(x))’$.
(Ou en notation multiplicative, $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$).
Démonstration (pour l’élément neutre)
On a $e_G = e_G \star e_G$. En appliquant le morphisme $f$, on obtient :
$f(e_G) = f(e_G \star e_G) = f(e_G) \bullet f(e_G)$.
Dans le groupe $H$, on a donc l’équation $f(e_G) = f(e_G) \bullet f(e_G)$. En simplifiant par $f(e_G)$ (qui est un élément régulier de $H$), on obtient $e_H = f(e_G)$.
Soit $f: G \to H$ un morphisme de groupes.
- Si $G_1$ est un sous-groupe de $G$, alors son image directe $f(G_1)$ est un sous-groupe de $H$.
- Si $H_1$ est un sous-groupe de $H$, alors son image réciproque $f^{-1}(H_1)$ est un sous-groupe de $G$.
Conséquences Importantes
Cette deuxième propriété a deux conséquences majeures qui sont constamment utilisées :
- L’image de $f$ : L’image de $f$, notée $\text{Im}(f) = f(G)$, est l’image du sous-groupe $G$ tout entier. C’est donc un sous-groupe de l’espace d’arrivée $H$.
- Le noyau de $f$ : Le noyau de $f$, noté $\ker(f) = f^{-1}(\{e_H\})$, est l’image réciproque du sous-groupe trivial $\{e_H\}$ de $H$. C’est donc un sous-groupe de l’espace de départ $G$.