Projection sur un sous-espace vectoriel – Projecteurs

Projections et Projecteurs
Définition : Projection et Projecteur

Soit $E$ un K-espace vectoriel, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$ (c’est-à-dire $E = F \oplus G$).

  • On appelle projection sur F parallèlement à G l’application $p_F : E \to E$ qui, à tout vecteur $x = x_1 + x_2$ (avec $x_1 \in F$ et $x_2 \in G$), associe le vecteur $p_F(x) = x_1$.
  • On appelle projecteur de $E$ tout endomorphisme $u$ de $E$ qui est idempotent, c’est-à-dire qui vérifie $u^2 = u \circ u = u$.

Remarque

Si $p_F$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$, alors :

  • $p_F$ est un endomorphisme de $E$.
  • Son image est $F$ ($Im(p_F) = F$) et son noyau est $G$ ($Ker(p_F) = G$).
  • $p_F \circ p_F = p_F$, ce qui signifie que toute projection est un projecteur.

Le théorème suivant établit la réciproque.

Théorème : Caractérisation des Projecteurs

Soit $u$ un projecteur d’un K-espace vectoriel $E$. Alors :

  1. L’espace $E$ est la somme directe de l’image et du noyau de $u$ : $E = Im(u) \oplus Ker(u)$.
  2. L’image de $u$ est l’ensemble des vecteurs invariants par $u$ : $\forall x \in E, x \in Im(u) \iff u(x) = x$.
  3. $u$ est la projection sur son image $Im(u)$ parallèlement à son noyau $Ker(u)$.

Démonstration

i) Pour montrer que la somme est directe, nous devons vérifier que $Im(u) + Ker(u) = E$ et $Im(u) \cap Ker(u) = \{0\}$.

  • Intersection : Soit $y \in Im(u) \cap Ker(u)$. Alors il existe $x \in E$ tel que $y=u(x)$, et de plus $u(y)=0$. En appliquant $u$, on obtient $u(y) = u(u(x)) = u^2(x)$. Comme $u$ est un projecteur, $u^2=u$, donc $u(x)=0$. Par conséquent, $y=u(x)=0$. L’intersection est donc réduite au vecteur nul.
  • Somme : Pour tout $x \in E$, on peut écrire l’identité $x = u(x) + (x – u(x))$. Le premier terme, $u(x)$, appartient par définition à $Im(u)$. Pour le second terme, calculons son image par $u$ : $u(x – u(x)) = u(x) – u^2(x) = u(x) – u(x) = 0$. Donc, $x – u(x)$ appartient à $Ker(u)$. Tout vecteur $x$ de $E$ est bien la somme d’un élément de $Im(u)$ et d’un élément de $Ker(u)$.

ii) Si $x \in Im(u)$, alors $x=u(y)$ pour un certain $y$. En appliquant $u$, on a $u(x) = u^2(y) = u(y) = x$. Réciproquement, si $u(x)=x$, il est clair que $x$ appartient à l’image de $u$.

iii) D’après (i), tout $x \in E$ s’écrit de façon unique $x=x_1+x_2$ avec $x_1 \in Im(u)$ et $x_2 \in Ker(u)$. En appliquant $u$, on a $u(x) = u(x_1) + u(x_2)$. Comme $x_1 \in Im(u)$, d’après (ii) on a $u(x_1)=x_1$. Comme $x_2 \in Ker(u)$, on a $u(x_2)=0$. Finalement, $u(x) = x_1$, ce qui est exactement la définition de la projection sur $Im(u)$ parallèlement à $Ker(u)$.