Pour comprendre le lemme de Zorn, il est nécessaire de maîtriser plusieurs concepts de la théorie des ordres. Soit $(E, \le)$ un ensemble muni d’une relation d’ordre.
- Ensemble Partiellement Ordonné : La relation $\le$ est une relation d’ordre partiel si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Tous les éléments ne sont pas forcément comparables.
- Chaîne : Une partie $C$ de $E$ est une chaîne si elle est totalement ordonnée, c’est-à-dire que pour tous $x, y \in C$, on a soit $x \le y$, soit $y \le x$.
- Majorant : Un élément $m \in E$ est un majorant d’une partie $A \subseteq E$ si pour tout $x \in A$, on a $x \le m$.
- Élément Maximal : Un élément $m \in E$ est un élément maximal de $E$ s’il n’existe aucun autre élément $x \in E$ qui soit strictement plus grand que $m$. Formellement : $$ \forall x \in E, \quad m \le x \implies m = x $$
Soit $(E, \le)$ un ensemble partiellement ordonné non vide. Si toute chaîne de $E$ admet un majorant dans $E$, alors $E$ possède au moins un élément maximal.
Démonstration
La démonstration du lemme de Zorn à partir des axiomes de base de la théorie des ensembles (ZF) est impossible. Le lemme de Zorn est en fait logiquement équivalent à l’Axiome du Choix. En pratique, on l’admet comme un axiome ou on le déduit de l’Axiome du Choix.
L’idée générale de la preuve (qui utilise l’Axiome du Choix) est la suivante :
- On raisonne par l’absurde en supposant que l’ensemble $E$ n’a aucun élément maximal.
- Cela signifie que pour tout élément $x \in E$, l’ensemble des éléments strictement plus grands que $x$ n’est pas vide.
- Grâce à l’Axiome du Choix, on peut définir une fonction « de choix » qui, pour tout $x$, sélectionne un élément $f(x)$ strictement plus grand que $x$.
- En partant d’un élément arbitraire $x_0$ et en appliquant cette fonction de manière répétée (et transfinie), on construit une « très longue » chaîne $x_0 < f(x_0) < f(f(x_0)) < \dots$.
- Par hypothèse du lemme de Zorn, cette chaîne doit admettre un majorant, disons $m$.
- On applique alors la fonction de choix à $m$ pour trouver un élément $f(m)$ qui est strictement plus grand que $m$. Mais $m$ était censé majorer toute la chaîne, y compris tous les prédécesseurs de $f(m)$, ce qui mène à une contradiction.
Cette esquisse est très simplifiée ; la construction formelle nécessite la notion d’ordinaux et de récurrence transfinie.
Implications et Utilisation
Le lemme de Zorn est un outil d’existence non constructif. Il prouve qu’un objet (l’élément maximal) existe, mais ne donne aucune méthode pour le trouver ou le construire. C’est l’un des outils les plus puissants des mathématiques modernes, utilisé pour démontrer des théorèmes fondamentaux dans de nombreux domaines.
- Algèbre Linéaire : Le lemme de Zorn est utilisé pour prouver que tout espace vectoriel admet une base. On considère l’ensemble de toutes les familles libres, ordonné par l’inclusion. Toute chaîne de familles libres a pour majorant leur réunion (qui est encore une famille libre). Le lemme de Zorn garantit alors l’existence d’une famille libre maximale, qui est une base.
- Algèbre Commutative : Il permet de prouver le théorème de Krull : tout anneau commutatif unitaire non trivial possède au moins un idéal maximal.
- Topologie : Il est utilisé dans l’une des preuves du théorème de Tychonoff, qui stipule que tout produit d’espaces topologiques compacts est compact.
- Analyse Fonctionnelle : Il est une pièce maîtresse dans la démonstration du théorème de Hahn-Banach sur le prolongement des formes linéaires.