Théorème de Wilson : démonstration (preuve)

Démonstration Détaillée

La démonstration se fait en deux parties, car il s’agit d’une équivalence.

Partie 1 : Si $p$ est un nombre premier, alors $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

Cette implication est la plus complexe.

• Cas simples : Pour $p=2$, on a $(2-1)! = 1! = 1 \equiv -1 \pmod{2}$. Pour $p=3$, on a $(3-1)! = 2! = 2 \equiv -1 \pmod{3}$. Le théorème est vérifié.
• Cas général ($p > 3$) : On travaille dans l’anneau des entiers modulo $p$, noté $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Comme $p$ est premier, cet anneau est un corps commutatif. Cela signifie que tout élément non nul $a \in \{1, 2, \dots, p-1\}$ admet un unique inverse multiplicatif $a^{-1}$ dans ce même ensemble.
• L’idée clé est de regrouper les éléments de l’ensemble $\{1, 2, \dots, p-1\}$ par paires d’inverses $(a, a^{-1})$. La plupart des éléments ont un inverse distinct d’eux-mêmes. Les seuls éléments qui sont leurs propres inverses sont les solutions de l’équation $x^2 \equiv 1 \pmod{p}$. Cette équation est équivalente à $x^2-1 \equiv 0 \pmod{p}$, soit $(x-1)(x+1) \equiv 0 \pmod{p}$. Comme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps (donc intègre), les seules solutions sont $x \equiv 1 \pmod{p}$ et $x \equiv -1 \pmod{p}$ (qui est $p-1$).
• Dans le produit $(p-1)! = 1 \times 2 \times \dots \times (p-1)$, les éléments $1$ et $p-1$ sont à part. Tous les autres éléments, de $2$ à $p-2$, peuvent être regroupés en paires $(a, a^{-1})$ dont le produit vaut 1.
• Le produit $(p-1)!$ se simplifie donc considérablement modulo $p$ : $$ (p-1)! \equiv 1 \times \left( \prod_{\text{paires}} a \cdot a^{-1} \right) \times (p-1) \pmod{p} $$ $$ (p-1)! \equiv 1 \times (1) \times (p-1) \pmod{p} $$ $$ (p-1)! \equiv p-1 \equiv -1 \pmod{p} $$ Ce qui prouve la première implication.

Partie 2 : Si $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$, alors $p$ est un nombre premier

Cette implication est plus simple et se démontre par contraposée. Supposons que $p$ n’est pas premier (et $p>1$), c’est-à-dire que $p$ est un nombre composé.

• Si $p$ est composé, il admet un diviseur $d$ tel que $1 < d < p$.
• Puisque $d$ est un entier compris entre 2 et $p-1$, il est l’un des facteurs dans le produit $(p-1)! = 1 \times 2 \times \dots \times d \times \dots \times (p-1)$. Par conséquent, $d$ divise $(p-1)!$, ce qui s’écrit $(p-1)! \equiv 0 \pmod{d}$.
• Notre hypothèse de départ est $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$. Cela signifie que $p$ divise $(p-1)!+1$. Comme $d$ est un diviseur de $p$, on a aussi que $d$ divise $(p-1)!+1$.
• Nous avons donc montré que $d$ divise $(p-1)!$ et que $d$ divise $(p-1)!+1$. Un nombre qui divise deux entiers consécutifs doit nécessairement diviser leur différence, qui est 1.
• On arrive à la conclusion que $d$ divise 1. C’est une contradiction, car nous avions supposé que $d>1$.
• (Cas particulier à vérifier : si $p=4$, $(4-1)! = 6 \equiv 2 \pmod 4$, donc la condition n’est pas vérifiée. Si $p=d^2$ avec $d>2$, alors $d$ et $2d$ sont des facteurs distincts dans $(p-1)!$, donc $(p-1)!$ est un multiple de $d \cdot 2d = 2p$, et donc $(p-1)! \equiv 0 \pmod p$, ce qui contredit l’hypothèse).
• L’hypothèse que $p$ est composé est donc fausse. Par conséquent, $p$ doit être premier.

Implications et Utilisation

Le théorème de Wilson est d’une grande importance théorique car il fournit une caractérisation des nombres premiers. Cependant, il est totalement inutilisable en pratique comme test de primalité. Le calcul de $(p-1)!$ devient rapidement impossible pour des nombres $p$ même modérément grands, bien plus que les calculs d’exponentiation modulaire utilisés dans les tests modernes.