Le calcul différentiel et le calcul intégral ont été développés historiquement pour résoudre des problèmes a priori distincts :
- La dérivation s’intéresse au taux de variation instantané d’une fonction (la pente de la tangente à une courbe).
- L’intégration s’intéresse au calcul d’aires sous une courbe (l’accumulation de quantités).
Le théorème fondamental de l’analyse révèle que ces deux opérations sont, en un sens, des opérations inverses l’une de l’autre.
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$. On définit la fonction $F$ sur $[a, b]$ par : $$ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt $$ Alors, la fonction $F$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur l’intervalle ouvert $]a, b[$, et sa dérivée est la fonction $f$ elle-même. $$ \forall x \in ]a, b[, \quad F'(x) = f(x) $$
Autrement dit, la dérivation « annule » l’intégration. La fonction $F$ est une primitive de $f$.
Démonstration
On utilise la définition de la dérivée. Pour $x \in ]a,b[$ et $h$ petit, on a :
$$ F(x+h) – F(x) = \int_a^{x+h} f(t) \, dt – \int_a^x f(t) \, dt = \int_x^{x+h} f(t) \, dt $$
Le taux d’accroissement est donc $\frac{F(x+h) – F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt$.
Le terme de droite est la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[x, x+h]$. Comme $f$ est continue, le théorème de la moyenne affirme qu’il existe un $c_h \in [x, x+h]$ tel que cette moyenne soit égale à $f(c_h)$.
On a donc $\frac{F(x+h) – F(x)}{h} = f(c_h)$.
Lorsque $h \to 0$, on a $c_h \to x$. Par continuité de $f$, $f(c_h) \to f(x)$.
On conclut que $\lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) – F(x)}{h} = f(x)$, ce qui signifie que $F'(x) = f(x)$.
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$. Si $G$ est n’importe quelle primitive de $f$ sur $[a, b]$ (c’est-à-dire $G'(x) = f(x)$), alors : $$ \int_a^b f(x) \, dx = G(b) – G(a) $$
Autrement dit, l’intégration « annule » la dérivation, à une constante près. Ce théorème fournit la méthode standard pour calculer des intégrales définies.
Démonstration
Soit $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$. D’après le premier théorème, $F$ est une primitive de $f$.
Soit $G$ une autre primitive de $f$. On sait que deux primitives d’une même fonction sur un intervalle ne diffèrent que d’une constante. Il existe donc une constante $C$ telle que $G(x) = F(x) + C$ pour tout $x \in [a, b]$.
Calculons $G(b) – G(a)$ :
$$ G(b) – G(a) = (F(b) + C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a) $$
Or, par définition de $F$, on a $F(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0$ et $F(b) = \int_a^b f(t) \, dt$.
On obtient donc :
$$ G(b) – G(a) = \int_a^b f(t) \, dt – 0 = \int_a^b f(x) \, dx $$
Ce qui achève la démonstration.