Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction qui satisfait les trois conditions suivantes :
- $f$ est continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$.
- $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$.
- $f(a) = f(b)$.
Alors, il existe au moins un réel $c$ dans l’intervalle ouvert $]a,b[$ tel que la dérivée de $f$ s’annule : $$ f'(c) = 0 $$
Géométriquement, cela signifie qu’il existe au moins un point sur la courbe où la tangente est horizontale.
Démonstration Détaillée
La démonstration repose sur le théorème des bornes atteintes.
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Cas 1 : La fonction est constante.
Si $f$ est une fonction constante sur $[a,b]$, alors sa dérivée $f'(x)$ est nulle pour tout $x \in ]a,b[$. On peut donc choisir n’importe quel $c$ dans l’intervalle. -
Cas 2 : La fonction n’est pas constante.
Puisque $f$ est continue sur un intervalle fermé et borné $[a,b]$, le théorème des bornes atteintes nous assure que $f$ admet un maximum global et un minimum global sur cet intervalle.
Comme $f$ n’est pas constante et que $f(a)=f(b)$, au moins l’un de ces extremums (maximum ou minimum) doit être atteint en un point $c$ à l’intérieur de l’intervalle, c’est-à-dire $c \in ]a,b[$.
En ce point $c$, la fonction $f$ admet un extremum local. De plus, comme $c$ est à l’intérieur de l’intervalle, $f$ est dérivable en $c$. Or, un théorème fondamental de l’analyse stipule que si une fonction dérivable atteint un extremum local en un point, sa dérivée en ce point doit être nulle.
Par conséquent, on a bien $f'(c) = 0$.
Remarques sur les Hypothèses
Les trois hypothèses (continuité sur le fermé, dérivabilité sur l’ouvert, et égalité aux bornes) sont cruciales. Si l’une d’elles n’est pas respectée, le théorème peut être mis en défaut.
- Absence de dérivabilité : La fonction $f(x)=|x|$ sur $[-1,1]$ est continue et $f(-1)=f(1)$, mais elle n’est pas dérivable en 0. Il n’existe aucun point où sa dérivée est nulle.
- Absence de continuité aux bornes : La fonction définie par $f(x)=x$ pour $x \in [0,1[$ et $f(1)=0$ vérifie $f(0)=f(1)=0$ et est dérivable sur $]0,1[$, mais elle n’est pas continue en 1. Sa dérivée $f'(x)=1$ ne s’annule jamais.