Soient $E$ and $F$ deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, munis respectivement des bases $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_m)$. Soit $f: E \to F$ une application linéaire.
Pour chaque vecteur $e_j$ de la base de départ, son image $f(e_j)$ se décompose de manière unique dans la base d’arrivée : $$ f(e_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} e’_i $$ La matrice de $f$ par rapport aux bases $\beta$ et $\beta’$, notée $Mat(f, \beta, \beta’)$, est la matrice $A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ dont la $j$-ème colonne est constituée des coordonnées du vecteur $f(e_j)$ dans la base $\beta’$.
Remarque
- Dans le cas particulier d’un endomorphisme $u: E \to E$, on choisit généralement la même base $\beta$ au départ et à l’arrivée. La matrice est alors notée $Mat(u, \beta)$.
- L’application qui à une application linéaire $f$ associe sa matrice $Mat(f, \beta, \beta’)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels entre $L(E,F)$ et $\mathcal{M}_{m,n}(K)$.
- Dans le cas des endomorphismes, cette application est même un isomorphisme d’algèbres, c’est-à-dire qu’elle respecte aussi la multiplication : $Mat(u \circ v, \beta) = Mat(u, \beta) \times Mat(v, \beta)$.
Avec les mêmes notations que précédemment, soit $x \in E$ un vecteur dont les coordonnées dans la base $\beta$ sont rassemblées dans une matrice colonne $X$. Soit $y=f(x)$ le vecteur image, dont les coordonnées dans la base $\beta’$ sont dans une matrice colonne $Y$. Alors, la relation entre ces coordonnées est donnée par le produit matriciel : $$ Y = AX $$
Démonstration
Soit $x = \sum_{j=1}^n x_j e_j$ et $y = \sum_{i=1}^m y_i e’_i$. Par linéarité de $f$, on a : $$ y = f(x) = f\left(\sum_{j=1}^n x_j e_j\right) = \sum_{j=1}^n x_j f(e_j) $$ En utilisant la décomposition de $f(e_j)$ dans la base $\beta’$, on obtient : $$ y = \sum_{j=1}^n x_j \left(\sum_{i=1}^m a_{ij} e’_i\right) = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j\right) e’_i $$ Par unicité de la décomposition dans la base $\beta’$, on identifie les coefficients : $$ y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j $$ Cette relation est précisément la définition du produit de la matrice $A$ par la colonne $X$.