L’inégalité de Hölder est un outil central dans l’étude des espaces Lp. Pour un espace mesuré $(X, \mathcal{A}, \mu)$ et un réel $p \ge 1$, l’espace $L^p(X)$ est l’ensemble des fonctions mesurables $f$ telles que l’intégrale de $|f|^p$ est finie.
Le théorème fait intervenir des exposants conjugués. Deux réels $p, q > 1$ sont dits conjugués si : $$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $$ Par convention, si $p=1$, son conjugué est $q=\infty$.
Soient $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré, et $p, q \in [1, \infty]$ deux exposants conjugués. Soient $f \in L^p(X)$ et $g \in L^q(X)$ deux fonctions. Alors, leur produit $fg$ est intégrable (dans $L^1(X)$) et on a :
Version pour les intégrales
$$ \int_X |f(x)g(x)| \, d\mu \le \left( \int_X |f(x)|^p \, d\mu \right)^{1/p} \left( \int_X |g(x)|^q \, d\mu \right)^{1/q} $$ En notation de normes : $$ \|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q $$Version pour les séries (suites)
Pour deux suites $(x_k)$ et $(y_k)$ de nombres réels ou complexes : $$ \sum_{k=1}^\infty |x_k y_k| \le \left( \sum_{k=1}^\infty |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^\infty |y_k|^q \right)^{1/q} $$
Esquisse de la Démonstration
La démonstration repose sur un lemme fondamental : l’inégalité de Young.
- Inégalité de Young : Pour tous réels positifs $a, b$ et pour des exposants conjugués $p, q$, on a : $$ ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$
- Normalisation : On se ramène au cas où $\|f\|_p = 1$ et $\|g\|_q = 1$. L’inégalité à prouver devient alors $\int_X |f g| \, d\mu \le 1$.
- Application de Young : On applique l’inégalité de Young point par point : $|f(x)g(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q}$.
- Intégration : On intègre cette inégalité sur tout l’espace $X$ : $$ \int_X |fg| \, d\mu \le \int_X \frac{|f|^p}{p} \, d\mu + \int_X \frac{|g|^q}{q} \, d\mu $$ $$ \int_X |fg| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int_X |f|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int_X |g|^q \, d\mu $$ Avec nos fonctions normalisées, cela donne : $$ \int_X |fg| \, d\mu \le \frac{1}{p} (1) + \frac{1}{q} (1) = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $$ L’inégalité est donc prouvée pour le cas normalisé. On en déduit le cas général par linéarité.
Implications et Cas Particuliers
- Inégalité de Cauchy-Schwarz : C’est le cas particulier le plus célèbre, obtenu en posant $p=q=2$.
- Analyse Fonctionnelle : L’inégalité de Hölder est l’outil principal pour prouver que l’espace dual de $L^p$ est l’espace $L^q$ (pour $1 \le p < \infty$). Elle est donc au cœur de la théorie des espaces de Banach.
- Inégalité de Minkowski : L’inégalité de Hölder est une étape clé dans la démonstration de l’inégalité de Minkowski (l’inégalité triangulaire pour la norme $L^p$), qui établit que les espaces $L^p$ sont bien des espaces vectoriels normés.