Théorème de Pythagore

Contexte : Le Triangle Rectangle

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d’un triangle rectangle.

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).
Le côté opposé à l’angle droit est le plus long et s’appelle l’hypoténuse.
Les deux autres côtés, qui forment l’angle droit, sont appelés les cathètes.

Ce théorème relie les longueurs des côtés de manière simple et élégante, permettant de calculer l’une d’entre elles si les deux autres sont connues.

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si on nomme $a$ et $b$ les longueurs des cathètes et $c$ la longueur de l’hypoténuse, alors on a la célèbre relation : $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

La réciproque est également vraie : si les longueurs des côtés d’un triangle satisfont cette équation, alors le triangle est rectangle.

Il existe des centaines de démonstrations du théorème. Voici l’une des plus visuelles et intuitives.

Construction : On prend quatre triangles rectangles identiques de côtés $a$, $b$ et $c$. On les arrange de deux manières différentes à l’intérieur d’un grand carré de côté $a+b$.
Premier arrangement : On place les quatre triangles dans les coins du grand carré. Au centre, ils laissent un carré vide. Le côté de ce carré central est $c$, donc son aire est $c^2$.
Second arrangement : On déplace les triangles pour former deux rectangles. Ils laissent maintenant deux carrés vides : un petit carré de côté $a$ (aire $a^2$) et un plus grand de côté $b$ (aire $b^2$).
Conclusion : L’aire totale du grand carré est la même dans les deux arrangements. L’aire des quatre triangles est aussi la même. Par conséquent, l’aire laissée vide doit être la même dans les deux cas. On a donc nécessairement : $$ c^2 = a^2 + b^2 $$

Calcul de distances : C’est sa première application. Il permet de calculer la distance en diagonale entre deux points dans un plan (distance euclidienne).
Fondement de la Trigonométrie : La relation fondamentale de la trigonométrie, $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$, est une reformulation directe du théorème de Pythagore pour un triangle rectangle inscrit dans un cercle de rayon 1.
Ingénierie et Architecture : Il est utilisé partout, de la construction de charpentes à la navigation GPS, en passant par le design graphique et les jeux vidéo pour calculer des trajectoires et des distances.
Généralisation : Le théorème se généralise en dimension supérieure et dans des espaces plus abstraits, comme les espaces de Hilbert où il devient une affirmation sur l’orthogonalité des vecteurs.