Alors que le théorème de Ceva donne une condition pour que trois droites (les céviennes) soient concourantes, le théorème de Ménélaüs donne une condition pour que trois points soient alignés.
- On considère un triangle $ABC$.
- Une droite $(d)$, appelée transversale, coupe les droites qui portent les côtés du triangle, $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$, en trois points $D$, $E$ et $F$.
- La transversale ne doit passer par aucun sommet du triangle. Notez que les points d’intersection peuvent se trouver sur les côtés eux-mêmes ou sur leurs prolongements.
Soit un triangle $ABC$ et une droite $(d)$ qui ne passe par aucun de ses sommets. Soient $D$, $E$, $F$ les points d’intersection de $(d)$ avec les droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ respectivement.
Les points $D$, $E$, $F$ sont alignés si et seulement si : $$ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$
Comme pour le théorème de Ceva, il s’agit d’une relation sur les mesures algébriques. Si l’on utilise les longueurs géométriques, la relation est la même, et elle est une condition nécessaire et suffisante pour l’alignement des points.
Idée d’une Démonstration (par le Théorème de Thalès)
Une preuve très classique consiste à utiliser des projections et le théorème de Thalès.
- Construction : On trace la droite passant par le sommet $C$ et parallèle à la transversale $(DEF)$. Soit $K$ le point d’intersection de cette parallèle avec la droite $(AB)$.
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Application de Thalès : On applique le théorème de Thalès à plusieurs configurations de triangles et de droites parallèles.
- Dans le triangle $\triangle AB D$ avec la sécante $(FK)$, on obtient une relation pour $\frac{AF}{FB}$.
- Dans le triangle $\triangle CKB$ avec la sécante $(FD)$, on obtient des relations pour $\frac{BD}{DC}$ et $\frac{CE}{EA}$.
- En considérant les triangles $\triangle AKC$ et $\triangle BFC$ coupés par la transversale $(DEF)$, on peut écrire : $$ \frac{AF}{FB} = \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CK}{KB} $$ Et avec le triangle $\triangle BCD$ : $$ \frac{BD}{DC} = \frac{BK}{KC} $$
- Conclusion : On exprime chaque rapport de la formule de Ménélaüs en fonction de segments portés par les droites $(AB)$ et la parallèle. En multipliant les trois rapports, les termes introduits par la construction s’annulent et on obtient bien 1.
Applications et Dualité
- Démonstration d’alignement : C’est l’outil par excellence pour prouver que trois points sont alignés en géométrie plane, lorsque les méthodes de géométrie analytique sont trop lourdes.
- Dualité avec Ceva : Les théorèmes de Ménélaüs et de Ceva sont duaux en géométrie projective. L’un traite de points alignés (colinéarité), l’autre de droites concourantes. La structure de leurs formules est remarquablement similaire.
- Théorème de Desargues et de Pascal : Le théorème de Ménélaüs est une brique essentielle dans la démonstration de théorèmes plus avancés comme le théorème de Desargues ou le théorème de Pascal.