Le théorème de Pascal est un résultat fondamental de la géométrie projective qui concerne un hexagone inscrit dans une conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole).
- Un hexagone inscrit est simplement une suite de six points A, B, C, D, E, F qui se trouvent sur la conique. L’hexagone n’a pas besoin d’être convexe, il peut être « croisé ».
- Les côtés opposés de l’hexagone ABCDEF sont les paires de côtés qui sont séparés par deux autres côtés : (AB, DE), (BC, EF) et (CD, FA).
Le théorème révèle une propriété surprenante et cachée concernant les points d’intersection de ces paires de côtés opposés.
Si un hexagone est inscrit dans une conique, alors les trois points d’intersection des paires de côtés opposés sont colinéaires (ils appartiennent à une même droite).
Soit ABCDEF un hexagone inscrit dans une conique. Soient :
- $P$ le point d’intersection des droites $(AB)$ et $(DE)$.
- $Q$ le point d’intersection des droites $(BC)$ et $(EF)$.
- $R$ le point d’intersection des droites $(CD)$ et $(FA)$.
Idée de la Démonstration
Les démonstrations du théorème de Pascal sont généralement assez techniques et font appel à des outils avancés de la géométrie projective ou analytique.
Une approche classique pour le cas du cercle consiste à utiliser le théorème de Ménélaüs de manière répétée. On applique ce théorème à un grand triangle dont les sommets sont les points d’intersection P, Q, R, et on utilise des transversales formées par les côtés de l’hexagone. En combinant les différentes relations obtenues et en utilisant les propriétés de puissance d’un point par rapport à un cercle, on parvient à montrer la colinéarité.
Applications et Portée
- Construction de coniques : Le théorème de Pascal permet de construire point par point une conique définie par cinq points. Si A, B, C, D, E sont connus, on peut choisir une droite quelconque passant par A, la considérer comme le support du côté (AF), et utiliser le théorème pour construire le sixième point F.
- Dualité en géométrie projective : Le théorème de Pascal a un « théorème dual » appelé théorème de Brianchon, qui affirme que pour un hexagone circonscrit à une conique, les trois diagonales principales sont concourantes.
- Cas dégénérés : Le théorème reste vrai lorsque certains sommets de l’hexagone coïncident. Par exemple, si A et B coïncident, la droite (AB) devient la tangente à la conique en A. Cela donne des résultats puissants sur les tangentes aux coniques.