Le Theorema Egregium, ou « théorème remarquable », est un résultat central de la géométrie différentielle. Il concerne la courbure de Gauss d’une surface dans l’espace.
- La géométrie différentielle est la branche des mathématiques qui étudie les formes et les espaces à l’aide des outils du calcul différentiel.
- La courbure de Gauss en un point d’une surface est une mesure de la courbure de la surface à ce point. Elle est le produit des deux courbures principales (maximale et minimale) de la surface à ce point.
La courbure de Gauss d’une surface ne dépend que de sa première forme fondamentale. Autrement dit, la courbure de Gauss est une grandeur intrinsèque de la surface.
Pour le dire plus simplement : la courbure d’une surface peut être calculée en ne mesurant que des distances et des angles sur la surface elle-même, sans avoir besoin de se référer à l’espace tridimensionnel dans lequel elle est plongée.
$$K = \frac{\det(II)}{\det(I)}$$
où $K$ est la courbure de Gauss, $I$ est la première forme fondamentale et $II$ est la deuxième forme fondamentale. Le théorème montre que l’on peut calculer $K$ en utilisant uniquement la première forme fondamentale ($I$).
Implications et Importance
- Distinction entre courbure intrinsèque et extrinsèque : Le Theorema Egregium distingue ce qui est propre à une surface (sa géométrie interne, ou intrinsèque) de la manière dont elle est tordue ou incurvée dans l’espace ambiant (sa géométrie extrinsèque).
- Cartographie : Ce théorème explique pourquoi il est impossible de faire une carte plate parfaite de la Terre (une sphère). La courbure de Gauss d’une sphère est positive et constante, tandis que celle d’un plan est nulle. Comme la courbure de Gauss ne change pas lors d’une déformation sans déchirure ni étirement, une sphère ne peut pas être « déroulée » en un plan sans déformation.
- Géométrie de l’espace-temps : Ce concept de courbure intrinsèque est fondamental en relativité générale d’Einstein. La courbure de l’espace-temps y est déterminée par la masse et l’énergie présentes, et cette courbure détermine les mouvements des objets.