Le théorème de la boule chevelue est un résultat de la topologie différentielle. Son nom vient d’une image simple : il est impossible de « peigner » une boule chevelue sans qu’il y ait un point où le cheveu se dresse.
- Une boule chevelue est une sphère (comme la surface d’un ballon) où chaque point a un « cheveu » qui en sort.
- Mathématiquement, un « peigne » est un champ de vecteurs tangents continu, où le vecteur est toujours sur la surface de la sphère (tangent) et non nul.
Tout champ de vecteurs tangents continu sur une sphère de dimension paire ($S^2$, $S^4$, etc.) doit avoir au moins un point où le vecteur est nul.
Pour une sphère de dimension $2n$, le théorème peut être formulé comme suit :
$$ \forall \mathbf{v} \in C^0(S^{2n}, TS^{2n}), \quad \exists p \in S^{2n} \text{ tel que } \mathbf{v}(p) = \mathbf{0} $$
où $S^{2n}$ est une sphère de dimension paire et $TS^{2n}$ est son fibré tangent.
Idée Intuitive et Implications
Le théorème a une signification très visuelle : vous ne pouvez pas peigner les cheveux d’une boule de manière continue sans créer un tourbillon (un point où le cheveu se dresse) ou une raie (une ligne de discontinuité). Il est important de noter que ce théorème ne s’applique pas aux sphères de dimension impaire, comme la 3-sphère ($S^3$) dans l’espace à quatre dimensions.
Un exemple d’application dans la vie réelle est la météorologie. Le vent à la surface de la Terre peut être considéré comme un champ de vecteurs. Le théorème de la boule chevelue garantit qu’il y a toujours, à n’importe quel moment, au moins un point sur la planète où le vent est nul. Ces points correspondent aux centres des cyclones ou des anticyclones.