En topologie, un point fixe d’une fonction $f$ est un point $x$ qui est sa propre image par cette fonction, c’est-à-dire qui vérifie $f(x) = x$. Le théorème de Brouwer s’intéresse à l’existence de tels points pour des fonctions continues définies sur des ensembles particuliers.
- Une fonction est continue si elle ne présente pas de « saut ». Intuitivement, on peut tracer son graphe sans lever le crayon.
- Un ensemble est convexe si, pour deux points quelconques de l’ensemble, le segment qui les relie est entièrement contenu dans l’ensemble. Un disque ou une sphère sont convexes, mais un croissant ou un tore (un donut) ne le sont pas.
- Un ensemble est compact (dans $\mathbb{R}^n$) s’il est à la fois fermé (il contient sa propre frontière) et borné (il ne s’étend pas à l’infini). Un segment $[a, b]$ ou un disque (bord inclus) sont compacts.
Toute application continue d’un ensemble compact, convexe et non vide de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même admet au moins un point fixe.
Esquisse de la Démonstration (par l’absurde)
La démonstration complète est complexe. Voici une intuition pour le cas d’un disque $D$ dans le plan (n=2). On suppose l’inverse de ce qu’on veut prouver et on montre que cela mène à une impossibilité logique.
- Hypothèse de départ : Supposons qu’il existe une fonction continue $f$, de notre disque $D$ dans lui-même, qui n’admet aucun point fixe. Cela signifie que pour tout point $x$ du disque, $f(x)$ est différent de $x$.
- Construction d’une « rétraction » : Puisque $x$ et $f(x)$ sont toujours deux points distincts, on peut tracer une demi-droite qui part de $f(x)$ et qui passe par $x$. Cette demi-droite va forcément sortir du disque et couper son bord (le cercle) en un point unique. Appelons ce point $r(x)$.
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Analyse de la fonction $r(x)$ : On vient de construire une nouvelle fonction $r$ qui prend n’importe quel point $x$ du disque et lui associe un point $r(x)$ sur le bord du disque. Cette fonction a deux propriétés importantes :
- Elle est continue : si on bouge $x$ un tout petit peu, $r(x)$ bouge aussi un tout petit peu sur le cercle.
- Si $x$ est déjà sur le bord du disque, alors $r(x) = x$. La fonction laisse les points du bord inchangés.
- La Contradiction : C’est ici qu’intervient le résultat clé de la topologie : une telle rétraction continue du disque sur son cercle-frontière est impossible. Intuitivement, on ne peut pas « peigner » ou « aplatir » continûment une membrane de tambour sur son unique cerceau sans la déchirer quelque part. L’existence d’une telle fonction $r$ est une absurdité mathématique.
- Conclusion : Puisque notre hypothèse de départ (l’absence de point fixe) nous a conduits à construire un objet mathématique impossible (la rétraction $r$), notre hypothèse de départ doit être fausse. Par conséquent, toute fonction continue du disque dans lui-même doit forcément avoir au moins un point fixe.
Intuition et Exemples
Ce théorème, bien qu’abstrait, peut être illustré par des exemples très parlants.
- La feuille de papier froissée : Prenez une feuille de papier (notre ensemble compact et convexe). Froissez-la (c’est une transformation continue) et posez-la n’importe où sur une copie intacte de la même feuille. Le théorème garantit qu’il y a au moins un point de la feuille froissée qui se trouve exactement au-dessus de sa position d’origine.
- La tasse de café : Lorsque vous remuez le café dans une tasse avec une cuillère, le mouvement du liquide est une transformation continue. Une fois que vous arrêtez de remuer, le théorème de Brouwer implique qu’il y a au moins une particule de café qui se retrouve exactement à la même position qu’elle occupait avant que vous ne commenciez à remuer.
- La carte géographique : Si vous posez une petite carte de France n’importe où sur une grande carte de France (par exemple, sur le sol de la région que vous visitez), il y aura un point sur la petite carte qui représente exactement le lieu physique où il se trouve.
Importance et Applications
Le théorème de Brouwer est un théorème d’existence pur : il nous assure qu’un point fixe existe, mais ne nous dit pas comment le trouver. C’est un résultat fondamental en mathématiques avec des applications profondes dans de nombreux domaines :
- Théorie des jeux : Il est utilisé pour prouver l’existence de l’équilibre de Nash, un concept central qui décrit une situation où aucun joueur n’a intérêt à changer de stratégie unilatéralement.
- Économie : Il sert à démontrer l’existence de l’équilibre général dans les modèles économiques, où l’offre et la demande s’équilibrent simultanément sur tous les marchés.
- Mathématiques pures : Il est un pilier de la topologie algébrique et sert à démontrer de nombreux autres théorèmes importants.